E-Jurnal Matematika Vol. 10(4), November 2021, pp. 229-234

DOI: https://doi.org/10.24843/MTK.2021.v10.i04.p347

ISSN: 2303-1751

PENENTUAN CADANGAN PREMI ASURANSI DWIGUNA MENGGUNAKAN METODE ILLINOIS BERDASARKAN HUKUM MORTALITAS WEIBULL

Ayu Eka Fanny Devi1§, I Nyoman Widana2, Ketut Jayanegara3

1Program Studi Matematika, Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: ayuufanny14@gmail.com] 2Program Studi Matematika, Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: nwidana@yahoo.com] 3Program Studi Matematika, Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: ktjayanegara@unud.ac.id] §Corresponding Author

ABSTRACT

Endowment insurance provides protection benefit and saving benefits. In the endowment insurance the insured party (insurance participant) must be paid the premiums. In addition to premiums, there is also policy value, which is sum of money that must be collected by the company in preparation for claim payment. The purpose of this study was to determine calculation of policy value in endowment insurance using Illinois method based on Weibull Mortality Law. In this study used secondary data from United States Life Table in the form of mortality probability data. Calculation value using Weibull mortality law, then the policy value calculated by Illinois method. The result of this study is policy value using Illinois Method based on Weibull Mortality Law is bigger than policy value using Illinois method without Weibull mortality law in the first year until year 20th. After year 20th, the policy value using Illinois method based on Weibull mortality law is smaller than policy value using Illinois method without Weibull mortality law, while at the end of the insurance year which is year 30th, the policy value with or without Weibull mortality law generates the same value.

Keywords: Endowment Insurance, Weibull Mortality Law, Policy Value, Illinois Method

  • 1.    PENDAHULUAN

Terdapat banyak risiko yang mungkin terjadi secara tidak terduga dimasa depan. Misalnya seperti kematian, kehilangan tempat tinggal, kecelakaan, sakit, dan kehilangan pekerjaan. Oleh karena itu perlu adanya perusahaan yang ditujukan untuk menghambat risiko-risiko sehingga tidak menimbulkan kerugian. Perusahaan asuransi merupakan lembaga yang dapat melindungi seseorang dari risiko dengan sejumlah polis asuransi. Pada artikel ini akan difokuskan pada asuransi jiwa dwiguna karena asuransi tersebut memberikan dua manfaat yaitu manfaat saat pemegang polis meninggal dalam periode tertentu dan manfaat jika pemegang polis masih hidup sampai masa akhir pertanggungan (Futami, 1993). Dalam asuransi dwiguna pemegang polis wajib untuk membayar premi sesuai kesepakatan antara pemegang polis dan perusahaan asuransi.

Pada artikel ini perhitungan premi dilakukan dengan menggunakan hukum mortalitas Weibull. Menurut Sembiring (1986) pendekatan

dengan hukum mortalitas bertujuan agar hasil dari pendekatan akan berbentuk kontinu sehingga lebih praktis. Perusahaan asuransi tidak hanya perlu menentukan besar premi tetapi juga besar cadangan premi. Pada awal tahun nilai pengeluaran perusahaan asuransi sering kali lebih besar dibandingkan tahun-tahun berikutnya. Oleh karena itu, perlu adanya penyesuaian dalam perhitungan cadangan premi. Salah satu metode yang dapat digunakan dalam perhitungan cadangan premi disesuaikan adalah metode Illinois (Sembiring, 1986). Metode Illinois adalah metode perhitungan cadangan dengan menggunakan premi bersih lanjutan yang disesuaikan. Hal tersebut bermakna bahwa premi bersih asuransi dwiguna digantikan oleh premi yang perhitungannya menyesuaikan tahun pembayarannya.

Perhitungan cadangan premi berdasarkan hukum mortalitas Weibull sebelumnya telah dilakukan oleh Widia & Subhan (2019) dengan menggunakan metode New Jersey. Hasil dari

penelitian tersebut adalah nilai cadangan pada tahun pertama adalah nol dan tahun berikutnya mengalami peningkatan setiap tahunnya.

Terkait menentukan nilai cadangan premi menggunakan metode Illinois pernah dilakukan oleh Lestari et al. (2019). Penelitian tersebut memeroleh hasil bahwa metode Illinois


menghasilkan nilai cadangan yang lebih kecil dibandingkan dengan metode prospektif tanpa metode Illinois.


Berdasarkan penelitian terdahulu dan melihat keunggulan dari hukum mortalitas Weibull dalam menentukan nilai premi serta metode Illinois dalam menentukan nilai cadangan premi. Peneliti tertarik untuk membahas mengenail Penentuan Cadangan Premi Asuransi Dwiguna Menggunakan Metode Illinois Berdasarkan Hukum Mortalitas Weibull.


Pada distribusi Weibull, fungsi laju angka kematian dinotasikan dengan


■.


(1)


(Bowers et al., 1997)

Fungsi laju angka kematian berpengaruh pada penentuan peluang hidup tertanggung dalam perhitungan premi. Premi tahunan bersih asuransi jiwa dwiguna dinotasikan dengan:


p — - Ax:n\ rx:n\   a _

ux:n\


(2)


Setelah ditentukan Sembiring


penentuan premi, maka dapat besar cadangan premi. Menurut (1986) cadangan premi dengan


menggunakan metode Illinois yaitu:


™V


Ax+t:n-t\


—


β1ctx+f20^


(3)


—


-V


A


—


m^x:n\( 20-t\m-20^x+t)

x+t:n-t\

m^x∙.n ^x+t:m-t\


(4)


-V


Ax+t:n-t\


(5)


Persamaan (3) digunakan dalam menentukan cadangan premi untuk t ≤ 20, persamaan (4) digunakan dalam menentukan cadangan premi untuk 20 < t ≤ m, dan persamaan (5) digunakan dalam menentukan cadangan premi untuk m<t≤n.

2. METODE PENELITIAN

Dalam penelitian ini digunakan data sekunder yaitu data life tabel Amerika Serikat tahun 2017 yang berisikan data peluang kamatian. Adapun langkah-langkah dalam


penelitian ini adalah sebagai berikut

  • 1.    Menggunakan polis asuransi

  • 2.    Melakukan estimasi parameter distribusi Weibull terhadap data life table Amerika Serikat tahun 2017 dengan bantuan software R.

  • 3.    Menggunakan data life table Amerika Serikat untuk memperoleh tabel komutasi.

  • 4.    Menghitung cadangan  premi  asuransi

dwiguna menggunakan metode Illinois

berdasarkan persamaan (3) dan (4).

  • 5.    Menentukan formula premi asuransi jiwa dwiguna berdasarkan hukum mortalitas Weibull.

  • 6.    Mengitung nilai premi asuransi dwiguna berdasarkan hukum mortalitas Weibull.

  • 7.    Menentukan formula cadangan premi dengan menggunakan metode Illinois berdasarkan hukum mortalitas Weibull.

  • 8.    Menghitung cadangan premi dengan metode Illinois menggunakan hukum mortalitas Weibull.

  • 9.    Interpretasi hasil.

  • 3.    HASIL DAN PEMBAHASAN

    • 3.1    Pendugaan Parameter Distribusi Weibull terhadap Life Table Amerika Serikat 2017

Penentuan parameter distribusi Weibull terhadap data peluang kematian pada life table Amerika Serikat tahun 2017 menggunakan Maximum Likelihood Estimation. Melalui bantuan software R, diperoleh parameter distribusi Weibull yaitu a = 0,4549 dan β = 16,6383.

Setelah diperoleh hasil pendugaan parameter distribusi Weibull, selanjutnya dilakukan uji data peluang kematian pada life table Amerika Serikat 2017 berdistribusi Weibul. Uji kecocokan data distribusi Weibull dilakukan dengan menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov. Melalui bantuan software R diperoleh hasil p-value = 0,3287 ≥ a = 0,05 sehingga keputusan yang diambil adalah terima H0 yaitu data peluang kematian pada life table Amerika Serikat berdistribusi Weibull.

  • 3.2    Tabel Komutasi untuk Asuransi

Dwiguna

Menurut Dickson et al (2009) tabel komutasi diperoleh dengan menghitung terlebih dahulu nilai-nilai fungsi komutasi. Penentuan nilai dx


dilakukan sebelum menghitung nilai-nilai fungsi komutasi dengan menggunakan persamaan dx = lx - lx+1

Sehingga diperoleh nilai dx seperti berikut:

d30 = l30 - l31 = 132,23

d31 = l31 - l32 = 137,03

d60 = l60-l61 = 802,24

Kemudian dengan menggunakan i = 5% maka diperoleh:

  • a.    Nilai v dapat ditentukan berdasarkan persamaan:

1

v = —= 0,9524

  • b.    Nilai Dx dapat ditentukan berdasarkan persamaan:

Dx = vxlx

Diperoleh:

D30 = 22.645,3969

D31 = 21.537,9076

  • 3.3    Perhitungan Cadangan Premi Asuransi Dwiguna Menggunakan Metode Illinois tanpa Berdasarkan Hukum Mortalitas Weibull

Polis asuransi yang digunakan adalah sebagai berikut: peserta asuransi berusia 30 tahun mengikuti asuransi jiwa dwiguna dalam jangka waktu 30 tahun. Apabila peserta asuransi meninggal atau tetap hidup dalam masa pertanggungan, maka peserta asuransi akan mendapatkan uang pertanggungan. Jumlah uang pertanggungan yang diberikan yaitu sebesar Rp 10.000.000,00.

Hal pertama yang harus dilakukan dalam menentukan cadangan premi adalah menghitung nilai premi tahunan pada asuransi dwiguna. Berdasarkan polis yang ditetapkan maka persamaan (2) dapat dimodifikasi menjadi:

^-


.             M30-M60+D60

^30J0I      7     D3O

P30:30| =H -- = 10    N30-N60

u30:30|               "

d30

= 157.547,4728

D1oo = 14,4008

c. Nilai Nx dapat ditentukan berdasarkan persamaan:

Nx=Dx + Dx+1 + Dx+2 + ∙∙∙

Sehingga diperoleh:

N30 = 421.434,8314

N31 = 398.789,4346


Selanjutnya ditentukan premi yang


disesuaikan berdasarkan persamaan

19^x+1 - (5(⅛))


β1 = Px:n| +


Berdasarkan polis diperoleh


-


dx:fc|


N100 = 14,4008

d. Nilai Cx dapat ditentukan berdasarkan persamaan:

Cx = vx+1dx

Diperoleh:

C30 = 29,1371

C31 = 28,7582


19^31

β1 = P30:30| +------


-(■O)


^30:20|


C100= 13,7151

e. Nilai  Mx   ditentukan berdasarkan


persamaan:


Mx = Cx + Cx+1


+ Cx+2 + •••


Sehingga diperoleh:

M30 = 2.577,0716

M31 = 2.547,9345

M100= 13,7151


= 163.866,5910

Langkah berikutnya adalah menentukan nilai a1 menggunakan persamaan

α'=?-(19Px+1 - (D30))

Berdasarkan polis yang telah ditetapkan berlaku:

^"  "^))

= 82.276,0911


Berdasarkan persamaan (3) dan (4) maka nilai cadangan premi asuransi dwiguna menggunakan metode Illinois tanpa berdasarkan hukum mortalitas Weibull dapat dilihat pada Gambar 1.


Cadangan Premi Metode Illinois Tanpa Hukum Mortalitas Weibull

15000000

ΓD OO

10000000

-σ

ΓD

5000000

03 ∞ φ

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930


Tahun ke-

Gambar 1. Cadangan Premi Menggunakan Metode Illinois Tanpa Berdasarkan Hukum Mortalitas Weibull

  • 3.4    Penentuan Formula Premi Asuransi Dwiguna Berdasarkan Hukum Mortalitas Weibull

Langkah pertama dalam penentuan formula premi adalah menentukan formula peluang orang berusia x tahun hidup sampai usia x + t tahun ( tpx). Persamaan yang digunakan untuk menentukan formula tpx adalah sebagai berikut:

r X + t

. υ-e-∫χ  μ(y)dy

Berdasarkan persamaan (1) diperoleh

(x+ t)a - Xa

t^^H--^a--)]  (6)

Langkah selanjutnya adalah menentukan anuitas hidup berdasarkan persamaan

t-1

⅛ = ΣrttPx

t=0

Sehingga berdasarkan persamaan (6) diperoleh:

t-1

⅛=∑∙'(4444 "


Kemudian ditentukan formula premi tunggal asuransi dwiguna berdasarkan persamaan

Ax:n\ = 1 - d(aχ.n∖)

Sehingga sesuai dengan persamaan (7) diperoleh:

Ax;^ = 1 - (1 - V)(B)

Dengan

t — 1

4-∙(4r⅛4l)

  • 3.5    Perhitungan Nilai Premi Asuransi Dwiguna Berdasarkan Hukum Mortalitas Weibull

  • a.    Nilai anuitas hidup asuransi dwiguna berdasarkan persamaan (7) diperoleh:

^30:301 = 13,4442

  • b.    Nilai premi tunggal bersih asuransi dwiguna berdasarkan persamaan (8) diperoleh:

A30^ = 3.597.984,9520

Kemudian diperoleh nilai premi asuransi dwiguna berdasarkan hukum mortalitas Weibull sebagai berikut:

A..^

⅛ = ÷-=Ξ= 267.622,9522

U30:30|

  • 3.6    Menentukan Formula Cadangan Premi Menggunakan Metode Illinois Berdasarkan Hukum Mortalitas Weibull

Pada penentuan formula cadangan premi dengan metode Illinois berdasarkan hukum mortalitas Weibull, ditentukan terlebih dahulu premi yang disesuaikan berdasarkan persamaan

19^x+1  (sCχ))

⅛.fc∣


β1 = ^x:n| +


Sesuai dengan polis yang telah ditetapkan

berlaku:

βl = ^30:30| +


■^ i'(-∏

a30:2-|


Dengan menggunakan persamaan (7) dan (8)

maka diperoleh:

β1 = 275.826,2952

Selanjutnya ditentukan nilai a1 dengan

mensubtitusi β1 = 275.826,2952 diperoleh a1 = 182.432,3478.

Selanjutnya, menentukan nilai cadangan premi menggunakan metode Illinois.

Berdasarkan persamaan (3) dan (4) diperoleh

30V(z) — A--R1    —

1v        /131:29|    P u31:19|

- 30^30:30] ( 19∣10⅛1)

= 1.17 0.0 05,06 8 0

Cadangan Premi Metode Illinois Berdasarkan Hukum Mortalitas Weibull

15000000

W

10000000

5000000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930


Tahun ke-

Gambar 2. Cadangan Premi Metode Illinois Berdasarkan Hukum Motralita Weibull

  • 4. KESIMPULAN DAN SARAN

Kesimpulan yang dapat diperoleh dari artikel ini adalah premi asuransi dwiguna dapat ditentukan dengan menggunakan hukum mortalitas Weibull yaitu melalui modifikasi formula peluang hidup tertanggung. Formula peluang hidup tertanggung berdasarkan hukum mortalitas Weibull adalah

tPx


∖  ∕(% + t)α-%“\1

=exp [- (    F JJ

Setelah premi diperoleh, cadangan premi ditentukan dengan menggunakan metode Illinois. Cadangan premi yang dihasilkan dengan menggunakan metode Illinois berdasarkan hukum mortalitas Weibull yaitu sebesar Rp 1.170.005,00 pada tahun pertama dan Rp 10.000.000,00 pada akhir tahun pertanggungan yaitu tahun ke-30. Cadangan premi pada tahun pertama sampai tahun ke-20 berdasarkan hukum mortalitas Weibull lebih besar dibandingkan cadangan premi tanpa menggunakan hukum mortalitas Weibull. Setelah tahun ke-20 cadangan premi berdasarkan hukum mortalitas Weibull lebih kecil dibandingkan dengan cadangan premi tanpa hukum mortalitas Weibull. Pada akhir tahun pertanggungan, cadangan premi yang dihasilkan baik dengan hukum mortalitas Weibull atau tanpa mortalitas Weibull sama besar.

Dalam artikel ini cadangan premi dengan menggunakan metode Illinois berdasarkan hukum mortalitas Weibull hanya dapat digunakan untuk polis yang menanggung satu peserta asuransi. Pada artikel selanjutnya disarankan penentuan cadangan premi asuransi dwiguna dengan menggunakan metode Illinois berdasarkan hukum mortalitas Weibull didesain untuk dua atau lebih tertanggung.

DAFTAR PUSTAKA

Bowers, N. L., Gerber, H. U., Hickman, J. C., Jones, D. A., & Nesbitt, C. J. 1997. Actuarial Mathematics. Schaumburg: The Society Of Avtuaries.

Dickson, D. C. M., Hardy, M. R., & Waters, H.

R. 2009. Actuarial Mathematics For Life Contingent Risk. New York: Cambridge University Press.

Futami, T. 1993. Matematika Asuransi Jiwa, Bagian I (1st ed.). Tokyo: Oriental Life Insurance Cultural Development Center.

Lestari, D. A., Satyahadewi, N., & Perdana, H.

2019. Penentuan Cadangan Premi Asuransi Jiwa Dwiguna Berjangka Dengan Metode Illinois. Bimaster:     Buletin Ilmiah

Matematika, Statistika Dan Terapannya, 8(3), 627–632.

Sembiring, R. K. 1986. Buku Materi Pokok Asuransi I. Jakarta: Universitas Terbuka.

Widia, R., & Subhan, M. 2019. Penerapan Hukum Weibull Pada Metode New Jersey Dalam Penentuan Cadangan Premi Asuransi Dwiguna Status Joint Life. UNPjoMath, 2(3), 39–43.

234