E-Jurnal Matematika Vol. 12(1), Januari 2023, pp. 64-70

DOI: https://doi.org/10.24843/MTK.2023.v12.i01.p401

ISSN: 2303-1751

PENENTUAN NILAI PREMI ASURANSI PERTANIAN BERBASIS HARGA INTERNASIONAL MENGGUNAKAN MODEL MEAN REVERSION DENGAN MUSIMAN

I Nyoman Bryan Andika1, Komang Dharmawan2§, Desak Putu Eka Nilakusmawati3

§Corresponding Author

ABSTRACT

The seasonal cycle causes cocoa price movements in the international market to fluctuate. This certainly affects the development of cocoa prices at the producer level, causing uncertainty about the prices received by farmers. International price-based agricultural insurance is an alternative to protect farmers against global price fluctuations. Compensation is given if the global price of cocoa falls below the agreed trigger value. This study aims to calculate the fair premium value for agricultural insurance based on international prices for cocoa in the Tabanan Regency, Bali, which was simulated using a mean reversion model with seasonality. To perform the simulation, the first step is to estimate the parameters of the seasonal model and the mean reversion model. Next, simulate the international price of cocoa. Then, determine the trigger value based on the percentile of the simulation data. Finally, calculate the premium value using the cash-or-nothing put option with the Black-Scholes model. The results show that the premium value which is considered fair lies between 5,77% to 11,08% of the insured value.

Keywords: Agricultural insurance, Black-Scholes, cash-or-nothing put option, mean reversion with seasonality

  • 1. PENDAHULUAN

Kakao adalah komoditas unggulan nasional yang memiliki peran penting dalam mendorong perekonomian nasional. Alasan tersebut karena kakao tergolong salah satu komoditas utama di perdagangan internasional dengan nilai jualnya yang tinggi. Tingginya angka permintaan kakao di pasar internasional menjadikan komoditas ini sangat menjanjikan bagi petani.

Perkembangan harga kakao internasional bergerak fluktuatif secara musiman (seasonal). Hal tersebut disebabkan karena pasokan kakao di pasar internasional bergantung pada siklus panen dan adanya perubahan konsumsi akibat faktor cuaca. Adanya pengaruh musiman dapat menyebabkan tingkat harga maupun volatilitas harga lebih tinggi saat sebelum panen dan lebih rendah saat musim panen tiba (Geman & Sarfo, 2012).

Fluktuasi musiman tersebut mengakibatkan ketidakpastian pada harga kakao dalam negeri,

terutama harga tingkat produsen. Hal tersebut dapat terjadi karena petani hampir sepenuhnya bergantung terhadap harga kakao internasional (Tsowou & Gayi, 2019). Untuk itu, diperlukan instrumen manajemen risiko untuk melindungi petani kakao dari fluktuasi harga internasional, yaitu dengan asuransi pertanian berbasis harga internasional.

Asuransi pertanian pada dasarnya bertujuan untuk memberikan proteksi usaha tani terhadap risiko, salah satunya risiko penurunan harga komoditas di pasar modal (Lestari et al., 2017). Dalam hal ini, ketidakpastian harga kakao pada pasar internasional dapat diminimalisir dengan mengalihkan risiko melalui asuransi pertanian berbasis harga internasional. Asuransi tersebut termasuk asuransi pertanian berbasis indeks. Petani akan memperoleh kompensasi jika harga kakao tingkat produsen pada waktu jatuh tempo berada di bawah indeks yang sudah ditentukan,

dalam hal ini harga kakao internasional acuan. Menurut Dharmawan et al. (2016), penerapan asuransi pertanian berbasis indeks perlu untuk dikembangkan lebih lanjut, mengingat terdapat tantangan dalam menentukan nilai premi yang wajar (fair).

Penentuan indeks harga internasional kakao dilakukan dengan mensimulasikan harga untuk satu tahun ke depan menggunakan model mean reversion dengan musiman. Model ini mampu mendeskripsikan dinamika musiman sekaligus proses mean reversion dalam harga komoditas pertanian, yang dirumuskan (Geman, 2005):


Januari 2017 sampai Desember 2021 diperoleh pada Dinas Pertanian dan Ketahanan Provinsi Bali, dan biaya produksi kakao tahun 2021 di Kabupaten Tabanan, Bali diperoleh pada Dinas Pertanian Kabupaten Tabanan. Data sekunder lainnya, yaitu suku bunga bebas risiko per tahun diasumsikan konstan berdasarkan acuan dari


ln(St) = f(t) + Xt.           (1)


Fungsi ln(St) adalah logaritma harga aset pada waktu ke-t. Fungsi f(t) adalah fungsi musiman


Bank Indonesia dan nilai tukar USD terhadap Rupiah yang diperoleh pada website satudata.kemendag.go.id dari Kemendag Republik Indonesia.

Analisis dalam penelitian ini dilakukan dengan bantuan software Matlab 2021. Adapun tahapan-tahapan analisis penelitian ini dapat dijabarkan sebagai berikut:


sebagai komponen deterministik (Seifert Homburg, 2007):

f(t) = S1 sin (2| t) + S2 cos ^ t) +

(4π ∖        ∕4π \

S3 cos (12 t) + S4 sin ⅛ t) + S5


&


(2)


dengan S1, S2, S3, S4, dan S5 sebagai parameter konstan dan t merupakan faktor waktu tahunan.


Selanjutnya, fungsi Xt adalah model mean reversion tipe geometrik sebagai komponen stokastik (Ewald & Yang, 2011):


dXt = κ(μ - Xt)Xtdt + σXtdWt    (3)


dengan κ adalah kecepatan penyesuaian, μ adalah rata-rata jangka panjang, σ adalah volatilitas, dan Wt adalah proses Wiener.

Sehubungan dengan komoditas kakao, Kabupaten Tabanan merupakan sentra produksi sekaligus pengembangan kakao terbesar kedua di Provinsi Bali. Kabupaten Tabanan memiliki potensi dalam hal produksi maupun pemasaran biji kakao hingga ke luar wilayah.

Berdasarkan uraian sebelumnya, penelitian kali ini bertujuan untuk menghitung nilai premi wajar (fair) dalam asuransi pertanian berbasis harga internasional pada komoditas kakao di Kabupaten Tabanan, Bali, yang disimulasikan menggunakan model mean reversion dengan musiman.


1.

  • 2.

  • 3.

  • 4.

  • 5.

  • 6.


Mengumpulkan data historis harga internasional dan harga tingkat produsen kakao.


Menghitung tingkat pengembalian (return) pada harga internasional kakao

Kt = ln(A-).          (4)

'∙-*t-1×

Melakukan analisis statistik deskriptif pada harga internasional kakao.


Melakukan analisis korelasi antara harga internasional terhadap harga tingkat produsen kakao.

Melakukan estimasi parameter model musiman, yaitu S1, S2, S3, S4, dan S5 pada harga internasional kakao dengan metode kuadrat terkecil


min


N


∑

t=1


(ln(St)-f(t))2.


(5)


Melakukan estimasi parameter model mean


reversion, yaitu κ, μ, dan σ pada harga internasional kakao dengan metode kuadrat terkecil


2. METODE PENELITIAN

Objek penelitian terfokus pada komoditas kakao, yaitu biji kakao fermentasi. Adapun data yang digunakan berupa data sekunder, meliputi harga internasional kakao periode bulan Januari 2000 sampai Desember 2021 yang tercatat pada website www.icco.org dari International Cocoa Organization (ICCO), harga tingkat produsen kakao di Kabupaten Tabanan, Bali periode bulan


  • 7.

  • 8.

  • 9.


ln (—1-) = κμ∆t - κ∆tXt-1 + σ∆Wt    (6)

^t-√

Mensimulasikan harga internasional kakao dengan simulasi Monte Carlo mengunakan model mean reversion dengan musiman. Melakukan uji lognormalitas terhadap data simulasi harga internasional kakao dengan uji Jarque-Bera.

Menentukan nilai trigger (K') pada harga internasional kakao.


  • 10.    Menentukan nilai pertanggungan (P) pada komoditas kakao.

  • 11.    Menghitung nilai premi asuransi pertanian menggunakan opsi put cash-or-nothing

Premi = Pe-rτ N(-d2)      (7)


dengan d2 dirumuskan:

ln (^0) + (r - —) T d2=-k^L_L_^L.    (8)

Variabel P adalah nilai pertanggungan, r adalah suku bunga bebas risiko per tahun, T adalah jangka waktu kontrak, S0 adalah harga aset pada waktu ke-0, K adalah nilai

return pada persamaan (4). Contoh perhitungan return untuk Rt, dengan t = 1 sebagai berikut:

6.394,10

^"fec) = -0'0^

dan seterusnya hingga R263. Hasil perhitungan return secara grafis disajikan pada Gambar 1b. Selanjutnya, hasil return yang telah diperoleh digunakan untuk analisis statistik deskriptif.

trigger, dan σ adalah volatilitas.

  • 12.    Melakukan interpretasi hasil.

  • 3.    HASIL DAN PEMBAHASAN

    • 3.1    Perkembangan Harga Internasional

Harga internasional kakao periode bulan Januari 2000 sampai Desember 2021 memiliki pergerakan yang berfluktuasi dan beragam dari waktu ke waktu. Di samping itu, sebagian besar pergerakan harga menunjukkan tren cenderung meningkat. Berfluktuasinya harga internasional kakao dapat disebabkan oleh faktor musiman. Grafik harga internasional kakao disajikan pada Gambar 1a.

  • 3.2    Menghitung Tingkat Pengembalian (Return) dan Statistik Deskriptif

Perhitungan return pada harga internasional kakao dilakukan dengan persamaan logaritmic

Tabel 1. Nilai Statistik Deskriptif

Statistik Deskriptif

Nilai

Mean

0,0061

Variance

0,0053

Standard Deviation

0,0726

Skewness

-0,0260

Kurtosis

9,7298

Berdasarkan Tabel 1, diperoleh nilai mean return harga internasional kakao bernilai positif yang artinya terdapat pengembalian, meskipun tidak begitu besar. Di samping itu, data harga internasional kakao tidak berditribusi normal. Hal ini ditunjukkan pada nilai skewness bernilai negatif (-0,026 < 0), artinya data harga tidak simetris (menceng ke kiri) dan nilai kurtosis lebih besar dari tiga (9,7298 > 3), artinya pada data harga terdapat ekor gemuk (fat tails).

Gambar 1a. Grafik Harga Internasional Kakao Periode Bulan Januari 2000 – Desember 2021


Gambar 1b. Grafik Return Harga Internasional Kakao Periode Bulan Januari 2000 – Desember 2021


  • 3.3    Melakukan Analisis Korelasi

Analisis korelasi dilakukan dengan tujuan untuk memberikan jaminan kepada penanggung

untuk mengasuransikan fluktuasi harga kakao internasional. Gambar 2 menunjukkan bahwa perkembangan harga kakao tingkat produsen di

Kabupaten Tabanan, Bali cenderung berada di atas harga kakao internasional, meskipun pada bulan Maret 2019 dan Juni 2021 harga tingkat produsen berada di bawah harga internasional secara signifikan. Di samping itu, harga kakao tingkat produsen bergerak fluktuasi mengikuti harga internasional. Untuk mengetahui tingkat keeratan hubungan antara harga kakao tingkat produsen terhadap harga kakao internasional,

maka perlu untuk dilakukan pengujian korelasi Pearson.

Berdasarkan Tabel 2, dapat dilihat bahwa harga kakao internasional terhadap harga kakao di tingkat produsen menunjukkan korelasi yang positif, dimana korelasi tertinggi terjadi pada bulan November, yaitu sebesar 0,8844 dengan interpretasi korelasi sangat kuat.

Gambar 2. Grafik Harga Internasional dengan Harga Tingkat Produsen Komoditas Kakao Periode Bulan Januari 2017 – Desember 2021


Tabel 2. Hasil Analisis Korelasi

Bulan

Nilai

Interpretasi

Januari

0,7838

Kuat

Feburari

0,8355

Sangat Kuat

Maret

0,8441

Sangat Kuat

April

0,7729

Kuat

Mei

0,8176

Sangat Kuat

Juni

0,5769

Sedang

Juli

0,8156

Sangat Kuat

Agustus

0,6370

Kuat

September

0,8593

Sangat Kuat

Oktober

0,7691

Kuat

November

0,8844

Sangat Kuat

Desember

0,8810

Sangat Kuat

  • 3.4    Melakukan Estimasi Parameter Model

Musiman (Seasonality)

Parameter dari model musiman pada harga internasional kakao diestimasi menggunakan persamaan (2) dengan metode kuadrat terkecil. Dengan demikian, bentuk persamaan (5) untuk meminimumkan galat error sehingga diperoleh nilai parameter musiman, yaitu s1, s2, s3, s4, dan S5 disajikan pada Tabel 3.

Selanjutnya, untuk memodelkan pergerakan musiman pada harga internasional kakao, maka nilai parameter yang diperoleh disubstitusikan ke dalam persamaan (2) sehingga diperoleh grafik musiman sebagaimana ditunjukkan pada

Gambar 3a. Berdasarkan Gambar 3a, dapat dilihat bahwa logaritma harga internasional komoditas kakao menunjukkan grafik musiman dengan tren yang cenderung meningkat setiap tahunnya.

Tabel 3. Estimasi Parameter Model Musiman

Parameter Estimasi

Nilai

Si

0,0252

S2

0,0272

S3

-0,0851

S4

-0,1698

S5

0,0620

Apabila komponen musiman dihilangkan (de-seasonalized), diperoleh logaritma harga internasional kakao tanpa komponen musiman. Hal tersebut menghasilkan komponen stokastik mean reversion yang sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 3b.

  • 3.5    Melakukan Estimasi Parameter Model

Mean Reversion

Estimasi parameter model mean reversion tipe geometrik dilakukan menggunakan metode kuadrat terkecil. Untuk itu, bentuk persamaan (6) mengikuti bentuk persamaan model regresi linier sebagai berikut:

Y = β0 + βιX + ε          (9)

Berdasarkan persamaan (9), return harga internasional kakao sebagai variabel prediktor,

DOI: https://doi.org/10.24843/MTK.2023.v12.i01.p401

Y, sedangkan logaritma dari harga internasional

kakao tanpa musiman sebagai variabel bebas, X sehingga diperoleh estimasi perhitungan regresi linier, terdiri dari β0 sebesar 0,0062, β1 sebesar -0,0752, dan std(ε) sebesar 0,0715. Dengan hasil regresi linier yang telah diperoleh, maka diperoleh nilai estimasi parameter model mean reversion, yaitu K, fi, dan σ seperti ditunjukkan pada Tabel 4. Pada Tabel 4, ditunjukkan bahwa semua parameter mean reversion memiliki nilai

yang positif. Selanjutnya, ketiga parameter ini akan digunakan untuk simulasi pada komponen stokastik.

Tabel 4. Estimasi Parameter Mean Reversion

Parameter Estimasi

Nilai

K

0,9026

fi

0,0827

σ

0,2476

Gambar 3a. Grafik Logaritma Harga Internasional Kakao dengan Komponen Musiman


Gambar 3b. Grafik Logaritma Harga Internasional Kakao Tanpa Komponen Musiman (De-seasonalized)


  • 3.6    Simulasi Model Mean Reversion dengan Musiman

Simulasi harga internasional kakao untuk satu tahun ke depan dilakukan dengan simulasi Monte Carlo, yang dimodelkan menggunakan model mean reversion dengan musiman. Tahap simulasi mean reversion dapat dilakukan pada data logaritma harga internasional kakao tanpa komponen musiman ditunjukkan pada Gambar

3b sebagai komponen stokastik, Xt. Simulasi ini dilakukan sebanyak N = 30.000.000 kali dengan persamaan (3) dan mensubstitusikan parameter pada Tabel 4. Setelah simulasi mean reversion selesai, menambahkan kembali (add back) komponen musiman, f(t) pada logaritma harga historis dan harga simulasi menggunakan persamaan (2) dan mensubstitusikan paramater pada Tabel 3.

Gambar 4a. Grafik Logaritma Harga Historis dan Logaritma Harga Simulasi dengan Komponen Musiman


Gambar 4b. Grafik Harga Historis dan Harga Simulasi Selama Satu Tahun ke Depan


Berdasarkan Gambar 4a dan 4b, pergerakan 30 lintasan simulasi dari harga internasional kakao menggunakan model mean reversion dengan musiman berfluktuatif dan beragam serta cenderung menurun setiap bulannya. Hasil dari simulasi harga internasional kakao akan dicari simulasi rata-ratanya untuk digunakan dalam perhitungan premi asuransi pertanian menggunakan opsi put cash-or-nothing dengan metode Black-Scholes.

  • 3.6    Menentukan Nilai Trigger (K)

Sebelum ke tahapan selanjutnya, pengujian lognormalitas pada data simulasi rata-rata harga internasional kakao dilakukan untuk memenuhi asumsi lognormal pada metode Black-Scholes. Uji lognormalitas dilakukan dengan uji Jarque-Bera menggunakan taraf signifikansi, a = 5% dengan hipotesis sebagai berikut:

H0 : Data simulasi berdistribusi lognormal H1 : Data simulasi tidak berdistribusi lognormal Hasil pengujian lognormalitas menggunakan uji Jarque-Bera dengan software Matlab, diperoleh bahwa sebanyak TV = 13 data menghasilkan p-value hitung sebesar 0,3513. Karena p-value > a = 0,05, maka tidak cukup bukti untuk menolak H0, artinya data simulasi rata-rata dari harga internasional kakao selama satu tahun ke depan berdistribusi lognormal.

Tabel 5. Nilai Trigger (K)

Persentil ke-

Nilai Trigger (Rp/Kg)

3

23.097,86

6

23.430,33

9

23.893,42

12

24.354,42

15

24.803,93

18

25.253,44

Selanjutnya, menentukan nilai trigger pada harga internasional kakao berdasarkan persentil simulasi rata-rata harga internasional kakao.

Nilai trigger yang terpilih adalah persentil ke-3, 6, 9, 12, 15, dan 18. Berdasarkan Tabel 5, semakin besar persentil data, maka semakin besar juga nilai trigger yang diperoleh. Keenam nilai trigger digunakan sebagai harga patokan dalam perhitungan premi asuransi pertanian.

  • 3.7    Menghitung Premi Asuransi Pertanian dengan Opsi Put Cash-or-Nothing

Besarnya premi asuransi pertanian dihitung menggunakan persamaan (7). Perhitungan nilai premi terlebih dahulu dilakukan perhitungan d2 sebagai fungsi densitas kumulatif menggunakan persamaan (8). Adapun parameter harga kakao saat ini (S0) adalah Rp. 34.031,28, suku bunga bebas risiko per tahun (r) adalah 0,035 yang diasumsikan konstan, jangka waktu kontrak (T) adalah 1, volatilitas (σ) adalah 0,2512, dan nilai trigger (K') terlampir pada Tabel 5.

Selanjutnya, terdapat nilai pertanggungan (T) sebagai akumulasi dari biaya produksi yang dikeluarkan oleh petani selama masa pra panen (on farm) sampai pasca panen (off farm) pada komoditas kakao di Kabupaten Tabanan, Bali. Besarnya nilai pertanggungan tersebut adalah Rp. 19.376.267,00/Ha/tahun.

Berikut ini ditunjukkan contoh perhitungan nilai premi asuransi untuk persentil ke-3:

∣n «wq .(   ⅛2^

, _    k23.097,86/   k ____________2    √

2 ^            0,2512√1

= 1,5567

sehingga V(-d2) = 0,0598. Artinya, peluang sesungguhnya bahwa harga internasional kakao jatuh di bawah nilai trigger sebesar 0,0598 . Selanjutnya, premi asuransi untuk persentil ke-3 dapat dihitung menggunakan persamaan (7) sebagai berikut:

Premi = 19.376.267,00 × e-C0,035×1) × 0,0598 = 1.118.376,30.

Dengan cara yang sama, hasil perhitungan nilai premi untuk persentil ke-6, 9, 12, 15, dan 18

secara lengkap ditunjukkan pada Tabel 6.

Tabel 6. Hasil Perhitungan Premi Asuransi Pertanian Berbasis Harga Internasional

Persentil

Trigger (Rp/Kg)

Pertanggungan (Rp/Ha/Tahun)

Premi (Rp)

Persentase (%)

3

23.097,86

19.376.267,00

1.118.376,30

5,77%

6

23.430,33

19.376.267,00

1.250.512,72

6,45%

9

23.893,42

19.376.267,00

1.450.670,08

7,49%

12

24.354,42

19.376.267,00

1.668.714,12

8,61%

15

24.803,93

19.376.267,00

1.899.375,63

9,80%

18

25.253,44

19.376.267,00

2.147.681,42

11,08%


Berdasarkan Tabel 6, nilai dan persentase premi yang diperoleh berbanding lurus dengan nilai trigger. Semakin besar nilai trigger, maka semakin besar juga nilai dan persentase premi yang dibayarkan oleh pihak tertanggung. Dengan demikian, besarnya premi yang dinilai wajar (fair) dalam asuransi pertanian berbasis harga internasional pada komoditas kakao di Kabupaten Tabanan, Bali, yang disimulasikan menggunakan model mean reversion dengan musiman terletak di antara persentase 5,77% hingga 11,08% terhadap nilai pertanggungan.

  • 4.    KESIMPULAN DAN SARAN

Besarnya premi dinilai wajar (fair) dalam asuransi pertanian berbasis harga internasional pada komoditas kakao di Kabupaten Tabanan, Bali, yang disimulasikan menggunakan model mean reversion dengan musiman terletak di antara 5,77% hingga 11,08% terhadap nilai pertanggungan.

Pengestimasian parameter dari model mean reversion pada penelitian ini dilakukan dengan metode kuadrat terkecil (least squares method). Namun, terdapat beberapa metode estimasi lain, seperti metode momen hingga maximum likelihood estimation (MLE). Oleh karena itu, peneliti menyarakankan untuk penelitian selanjutnya terkait pengestimasian parameter dari model mean reversion dapat menggunakan metode momen maupun maximum likelihood estimation (MLE).

DAFTAR PUSTAKA

Dharmawan, K., Widia, I. W., & Eswaryanti, L.

P. K. Y. (2016). Penerapan metode penilaian kontrak opsi dalam penentuan premi asuransi pertanian berbasis indeks curah hujan. Seminar Nasional Matematika XVIII Pekanbaru, Riau, 2-3 November 2016 (pp. 4–9). Indonesian Mathematical Society (IndoMS).

Ewald, C.-O., & Yang, Z. (2011). Geometric mean reversion:  Formulas for the

equilibrium density and analytic moment matching. SSRN Electronic Journal, 1-25. http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.999561.

Geman, H. (2005). Commodities and commodity derivatives: Modeling and pricing for agriculturals, metals and energy. United Kingdom: John Wiley & Sons Ltd.

Geman, H., & Sarfo, S. (2012). Seasonality in cocoa spot and forward markets: Empirical evidence. Journal of Agricultural Extension and Rural Development, 4(8), 164-180.

https://doi.org/10.5897/JAERD11.123.

Lestari, I., Dharmawan, K., & Nilakusmawati, D. P. E. (2017). Penentuan nilai premi asuransi pertanian pada komoditas kopi berbasis harga internasional menggunakan model mean reversion dengan lompatan. E-Jurnal Matematika,  6(4),  253-259.

https://doi.org/10.24843/MTK.2017.v06.i 04.p175.

Seifert, J., & Uhrig-Homburg, M. (2007).

Modelling jumps in electricity prices: Theory and empirical evidence. Review of Derivatives Research,   10(1),  59-85.

https://doi.org/10.1007/s11147-007-9011-9.

Tsowou, K., & Gayi, S. K. (2019). Trade

reforms and integration of cocoa farmers into world markets: Evidence from african and non-african countries. Journal of African    Trade,    6(1–2),     16-29.

https://dx.doi.org/10.2991/jat.k.190916.00 1.

70