E-Jurnal Matematika Vol. 11(2), Mei 2022, pp. 106-112

DOI: https://doi.org/10.24843/MTK.2022.v11.i02.p368

ISSN: 2303-1751

PRODUK UNIT LINK UNTUK JOINT LIFE MENGGUNAKAN PENDEKATAN STOKASTIK

Ni Ketut Ayu Murniasih1§, I Nyoman Widana2, Ketut Jayanegara3

1Program Studi Matematika, Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: [email protected]]

§Corresponding Authors

ABSTRACT

The insurance program has developed quite rapidly and the products that are displayed are only very attractive from protection products to protection and investment products known as unit link insurance. In general, unit-linked insurance products are offered with a death benefit for one person or single life. This study discusses unit link insurance with death benefits for two people or living together using profit testing calculations with a stochastic approach. This study aims to calculate the company's expectations of death benefits, profits and profits from unit link insurance for joint life using a stochastic approach. In this study, the ages of the participants of this unit link insurance are 35, 45, and 55. Premium payments of Rp4.200,000.00 are made annually for 5 years and are covered until the age of 75 years. In the research, it is expected that the profit and death benefit using the stochastic approach are as follows: if the insured ages are 35, 45, and 55 years old, the company experiences a profit of Rp9,445,498,66, Rp5,975,926.42, and Rp2, respectively. 197,106.56 and the expected death benefit value is Rp. 33,167.00, Rp. 99,007.00 and Rp. 328.005.00, respectively.

Keywords: Unit Link Life Insurance, profit testing, Stochastic.

  • 1.    PENDAHULUAN

Semua orang ingin memiliki jaminan dalam hidup, mulai dari jaminan kesehatan, jaminan keamanan dan jaminan dalam berinvestasi. Salah satu solusi dalam menjamin kehidupan dengan melakukan program asuransi. Program asuransi ini dirancang untuk mengatasi masalah finansial dari kejadian-kejadian tidak terduga, misalnya kecelakaan, terjadinya kebakaran, bahkan kematian (Widana & Jayanegara, 2019). Kejadian-kejadian tidak terduga ini dapat diantisipasi dengan mengikuti program asuransi.

Program asuransi saat ini sudah mengalami perkembangan yang sangat maju dan produknya dikemas sangat menarik dan perusahaan asuransi semakin mengembangkan jenis produknya sesuai kebutuhan manusia. Dari produk hanya untuk proteksi berkembang menjadi produk proteksi dan investasi yang dikenal dengan asuransi jiwa unit link.

Pertama kali asuransi unit link dipasarkan di London dan Manchester ditahun 1957 dan bertahun-tahun produk ini semakin populer di berbagai negara. Pada tahun 1998 asuransi unit link dipasarkan pertama kali di Indonesia oleh

perusahan asuransi Prundetial dan Manulife (Badruddin, 2011). Di zaman modern ini produk unit link cukup diminati dalam perasuransian.

Pada asuransi unit link diperoleh hasil investasi berupa tingkat pengembalian (return). Suku bunga yang biasa digunakan dalam menghitung tingkat pengembalian (return) dari suatu investasi adalah suku bunga konstan (fix rate interest). Hal tersebut tidak sesuai dengan kondisi yang sebenarnya karena suku bunga dapat berubah dalam selang waktu tertentu. Nilai suku bunga dalam pasar finansial tidak dapat diketahui secara pasti, namun estimasi terhadap suku bunga masih dapat dilakukan. Oleh karena itu diperlukan suatu model yang memungkinkan untuk mengestimasi suku bunga berdasarkan sifatnya yang selalu berubah-ubah dengan menggunakan suku bunga stokastik.

Berdasarkan jumlah tertanggung, asuransi jiwa dibagi menjadi dua yaitu asuransi jiwa perorangan dan asuransi jiwa gabungan. Asuransi jiwa perorangan adalah asuransi untuk jumlah tertanggungnya satu orang dan asuransi jiwa gabungan adalah asuransi yang

menanggung dua orang atau lebih tertanggung Dickson et al (2009).

Pada penelitian sebelumnya Widana dan Jayanegara (2019) ,Yunita et al (2018) dan Mandal (2016) menyatakan bahwa produk asuransi unit link ini ditawarkan dengan manfaat kematian untuk satu orang tertanggung atau single life. Dalam Penelitian ini penulis meneliti produk asuransi unit link untuk manfaat kematian dua orang atau joint life. Manfaat yang diperoleh dari asuransi joint life pembayaran premi berhenti jika salah satu tertanggung meninggal dunia dan kelebihan asuransi unit link untuk joint life dengan adanya satu polis dapat melindungi dua tertanggung. Dengan adanya produk unit link ini pemegang polis dapat menerima keuntungan tidak hanya proteksi aset yang diperoleh, melainkan memperoleh keuntungan yang lain dalam berinvestasi.

Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis nilai ekspektasi dari manfaat kematian, profit, dan return dari asuransi unit link untuk joint life dengan menggunakan pendekatan stokastik.

Menurut (Futami, 1993) bunga majemuk adalah suatu perhitungan bunga dimana besar pokok jangka investasi selanjutnya adalah besar pokok sebelumnya di tambah dengan besar bunga yang diperoleh. P menyatakan besar pokok, i menyatakan tingkat suku bunga dan n menyatakan tahun jangka investasi. Maka besar total pokok beserta bunga adalah:

S = P(1 + i)n          (1)

Nilai kemungkinan seorang yang berusia x tahun dan seorang yang berusia y tahun dalam 1 tahun tetap hidup (Bowers et al, 1997), sebagai berikut :

lxy+1

-                             (2)

Nilai kemungkinan orang yang berusia x tahun dan orang yang berusia y tahun yang masih tetap hidup selama k tahun, dinotasikan dengan kpxy dan dirumuskan sebagai berikut :

_ lx+k ■ ly+k

kPxy =    lχ+y            (3)

= kPx ■ kPy

Nilai kemungkinan dari salah satu diantara x dan y meninggal dalam waktu 1 tahun dinotasikan dengan qxy dan dirumuskan sebagai berikut :

qxy = 1  pxy           (4)

Nilai kemungkinan salah satu diantara x dan y meninggal dalam jangka waktu k tahun dan dirumuskan sebagai berikut:

kqxy = 1 - kpxy         (5)

Menurut Mandal (2016) ada dua pendekatan untuk menganalisis asuransi unit link yaitu pendekatan deterministik dan pendekatan stokastik. Dalam profit testing diperhatikan beberapa definisi sebagai berikut:

Dana pemegang polis yang dinotasikan Ft adalah jumlah uang dari investasi yang dimiliki pemegang polis pada tahun ke-1. Pt adalah premi yang harus dibayar pemegang polis kepada perusahaan asuransi pada tahun ke t — 1. APt adalah sebagian dari jumlah premi (Pt) yang dimasukan pada dana pemegang polis sehingga premi yang dialokasikan didefinisikan sebagai berikut:

APt = premi x persentase premi    (6)

MCt adalah biaya manajemen yang dibayar oleh pemegang polis dan diberikan kepada perusahaan asuransi pada waktu ke-t. Dari definisi tersebut memproyeksikan dana pemegang polis yang memberikan persamaan sebagai berikut :

Ft = (Ft-1 + APt)x Ft — MCt      (7)

Perhitungan keuntungan yang diperoleh perusahaan melibatkan premi yang tidak dialokasikan UAPt dan bunga dinotasikan dengan lt. Untuk menghitung besar bunga perusahaan dalam perhitungan ini menggunakan suku bunga bebas risiko 3.5%, sehingga dirumuskan sebagai berikut:

lt = (UAPt) × 3,5%        (8)

Manfaat kematian yang diharapkan pada saat t dinotasikan dengan EDBt dan dirumuskan sebagai berikut:

EDBt = (qχ+t-ι) x ( UP)      (8)

Et dinotasikan sebagai biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan pada saat t — 1. Prt adalah

keuntungan yang diperoleh perusahaan yang diperoleh saat t tahun pada polis yang berlaku pada waktu t — 1.

Prt = UAPt -Et +It + MCt — EDBt    (9)

Peluang hidup dari seseorang dikalikan dengan profit vektor merupakan keuntungan yang diharapkan pada akhir periode dari satu kontrak polis yang dirumuskan sebagai berikut:

∏o = Pro; ∏t = (t-ιPx) × (Prt) ,       (10)

untuk t = 1,2,3,...,t

Vektor Π adalah profit signature untuk kontrak asuransi unit link pada waktu t tahun dimana:

∏ = (∏o,∏1,∏2.....Πt)

= (Pro, Prι, Pr2,, t-1PxPrt)

Misalkan r adalah suku bunga, sehingga Net

present value dari profit signature (NPV) sebagai berikut :

n

NPV =


∑ ∏tV^ t=o


(12)


Misalkan R1, R2, R3,..., Rt merupakan barisan dari bilangan acak, dengan Rt adalah akumulasi pada saat t dari 1 unit yang diinvestasikan pada saat t - 1. Sehingga Rt-1 adalah return dari aset dana pada tahun yang berkaitan. Nilai akumulasi R bernilai positif dan diasumsikan {lnRt} adalah barisan peubah acak (independen dan indentik) berdistribusi normal dengan parameter rataan μ dan standar deviasi σ. Untuk mengestimasi paramter rataan μ dan standar deviasi σ dengan mengunakan

persamaan :

_ ∑n=ιln(1 + Rt)

μ=        n                  (13)

I ∑n=ι(ln(1 + Rt)-μ)2

√       n—1            (14)

Asumsi yang digunakan pada penelitian ini adalah return berdistribusi lognormal. Jika Z merupakan bilangan acak dari distribusi N ( 0,1) maka model return untuk distribusi lognormal sebagai berikut:

Rt = exp(μ + σZt)           (15)

Misalkan in dan s adalah secara berturut-turut rataan dan simpangan baku dari NPV. Sehingga kisaran dari keuntungan dan kerugian yang diterima oleh perusahaan asuransi dengan tingkat kepercayaan 95% sebagai berikut:

s              s \

m —1,96-j=, m+ 1,96-j=)     (16)

  • 2.    METODE PENELITIAN

Penelitian ini menggunakan data sekunder dan data peluang kematian yang bersumber dari Tabel Mortalitas Indonesia. Adapun tahapan-tahapan dalam penelitian ini yaitu:

  • 1.    Menentukan nilai tabel mortalitas joint life berdasarkan Tabel Mortalitas Indonesia 2011.

  • 2.    Melakukan perhitungan profit testing dengan pendekatan stokastik.

  • a.    Menentukan besar premi yang dialokasikan pada saat t, APt

  • b.    Membangkitkan bilangan acak normal (0,1).

  • c.    Menghitung parameter μ (rataan) dan σ (standar deviasi) untuk distribusi lognormal dari histori return

  • d.    Menghitung akumulasi return untuk aset dana pemegang polis dengan μ dan σ

  • e.    Menghitung besar dana pemegang polis pada saat t berdasarkan persamaan (7).

  • f.    Menghitung besar biaya manajemen pada waktu t.

  • g.    Menghitung besar premi yang tidak dialokasikan

  • h.    Menghitung besar bunga yang dikeluarkan perusahan asuransi pada waktu t (Error! Reference source not found.)

  • i.    Menghitung manfaat kematian yang diperoleh perusahan untuk setiap peserta pada waktu t berdasarkan persamaan (8)

  • j.    Menghitung total keuntungan yang diperoleh perusahaan pada waktu t berdasarkan persamaan (9).

  • k.    Menghitung profit signature berdasarkan persamaan (10).

  • l.    Menghitung Net Present Value dari profit signature berdasarkan persamaan (12).

  • 3.    Menghitung kisaran keuntungan dan kerugian dengan tingkat kepercayaan 95% berdasarkan persamaan (16).

  • 4.    Menginterpretasikan hasil perhitungan profit testing dengan model stokastik.

  • 3.    HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam penelitian ini menggunakan kontrak asuransi unit link pada perusahaan X untuk usia masuk tertanggung 35,45, dan 55 tahun. Besar premi tahunan yang dibayar adalah premi pokok sebesar Rp. 4.200.000,00 dan premi top up sebesar Rp0,00 pertahun selama 5 tahun serta tertanggung ditanggung hingga usia 75 tahun. Uang pertanggung untuk usia 35, 45, dan 55 tahun sebesar Rp21.000.000,00. Besar biaya administrasi perbulan Rp25.000,00 dan biaya pengelolan setiap tahun 3%.

Tabel 1. Porsi Investasi

Porsi investasi

Tahun

1

2

3

4

5

Alokasi Dana Investasi

40%

75%

90%

95%

95%

Alokasi Biaya Akuisisi

60%

25%

9%

95%

95%

  • 3.1    Menghitung Besar Premi yang Dialokasikan

Pada bagian ini menentukan besar premi yang dialokasikan menggunakan premi utama sebesar Rp4.200.000,00 dan premi top up sebesar Rp0,00. Untuk menghitung premi yang dialokasikan menggunakan persentase alokasi dana investasi berdasarkan Tabel 1 dan persamaan (6), sehingga diperoleh sebagai berikut:

AP1 = Rp1.680.00,00

AP2 = Rp3150.000,00

AP1 = Rp3.780.00,00

AP1 = Rp3.990.00,00

AP5 = Rp3.990.00,00

  • 3.2    Estimasi Parameter Rataan dan Standar Deviasi.

Tabel 2. Data Historis

Tahun

Rt

Rt+ 1

ln(Rt + 1)

2017

0,0844

1.0844

0,081026839

2018

-0,0006

0,9994

-0,00060018

2019

0,0749

1,0749

0,072227634

2020

0,0235

1.0235

0,023228126

Pada penelitin ini diasumsikan akumulasi return berdistribusi lognormal. Nilai ln(Rt + 1) pada Tabel 2 digunakan untuk menduga nilai parameter rataan dan standar deviasi dengan menggunakan persamaan (13) dan (14). Sehingga nilai parameter rataan dan standar deviasi yang diperoleh adalah μ = 0,035181316    dan    σ = 0,082127861.

Akumulasi return dapat dihitung dengan nilai parameter rataan dan standar deviasi yang diperoleh. Sehingga akumulasi return untuk aset dana pemegang polis berdasarkan persamaan (16).

Rt = e(0,035181316+0,082127861)×z

Dengan z adalah bilangan acak distribusi lognormal. Untuk menghitung biaya manajemen pada model stokastik setiap tahunnya pada usia tertanggung 35 tahun berdasarkan persamaan (8), sehingga diperoleh:

MC1 = Rp356.516,17

MC2 = Rp452.834,00 MC3 = Rp566.386,65 MC40 = Rp420.044,25

Dana pemegang polis dapat dihitung berdasarkan persamaan (8). Hasil dana pemegang polis model stokastik disajikan pada Gambar 1 dapat terlihat jika dana pemegang polis mengalami fluktuasi.



Gambar 1. Dana Pemegang Polis


Untuk perhitungan profit vecktor model stokastik berdasarkan pada persamaan (13). Hasil dari profit vector dengan satu simulasi disajikan pada Gambar 2 terlihat jika dari tahun ke tahun profit vector mengalami penurunan

.


dikarenakan manfaat kematian yang diharapkan dari tahun ke tahun semakin meningkat.


Gambar 2. Profit Vector


Nilai NPV (Net Present Value) untuk satu simulasi dengan menggunakan pendekatan stokastik berdasarkan persamaan (14) disajikan pada Tabel 3.

Tabel 3. NPV Model Stokastik

Usia (tahun)

NPV (Rupiah)

35

Rp9.447.403,55

45

Rp4.302.360,82

55

Rp1.902.863,87

Dapat terlihat pada Tabel 3 jika perusahaan memperoleh keuntungan terbesar diusia tertanggung masuk 35 tahun dengan 1 orang mengikuti kontrak asuransi sebesar Rp9.447.403,55 sedangkan di usia tertanggung 55 tahun perusahaan mengalami keuntungan yang lebih sedikit sebesar Rp1.902.863,87

Untuk menghitung kisaran keuntungan dan kerugian dengan tingkat kepercayaan 95% diperlukan nilai parameter rataan dan simpangan baku dengan bantuan sofware microsoft excel sehingga diperoleh rataan dan standar deviasi dengan 1000 simulasi sebagai berikut:

Tabel 4. Rataan dan Simpangan Baku

Usia (tahun)

Rataan (Rupiah)

Simpangan Baku (Rupiah)

35

Rp9.445.507,67

Rp1.962.606,12

45

Rp5.975.926,43

Rp1.358.014,70

55

Rp2.197.106,56

Rp798.062,25

Tabel 4 menunjukkan rataan dan simpangan baku, sehingga kisaran keuntungan dan kerugian dapat dihitung berdasarkan persamaan (17) dengan dilakukan 1000 simulasi, sehingga diperoleh kisaran keuntungan dan kerugian terdapat pada Tabel 5.

Tabel 5. Kisaran Keuntungan dan Kerugian

Usia (tahun)

(Kisaran Keuntungan dan Kerugian) (Rupiah)

35

(Rp9.323.864,08 ,Rp9.567.151,25)

45

(Rp5.891.755,80, Rp6.060.097,05)

55

(Rp2.147.642,15, Rp2.246.570,97)

Dari tabel 5 diperoleh hasil dari perhitungan profit testing dengan model stokastik untuk usia tertanggung 35, 45, dan 55 tahun sehingga dapat terlihat pada Tabel 6 untuk profit testing model stokastik.

Tabel 6. Profit Testing Model Stokastik

Usia (tahun)

Profit Testing Model Stokastik (Rupiah)

35

Rp9.445.498,66

45

Rp5.975.926,42

55

Rp2.197.106,56

Tabel 6 menunjukkan nilai dari profit testing model stokastik untuk memperolehnya mencari nilai tengah dengan menggunakan Tabel 5. Sehingga pada Tabel 6 menunjukkan jika semakin bertambah usia tertanggung semakin kecil profit yang diperoleh perusahaan.

  • 4.    KESIMPULAN DAN SARAN

Pada penelitian ini diperoleh bahwa profit testing pada usia tertanggung 35, 45, dan 55 tahun dengan besar premi yang dibayar Rp4.200.000,00 pertahun selama 5 tahun serta tertanggung ditanggung hingga usia 75 tahun. Dari usia tertanggung 35, 45, dan 55 tahun memiliki keuntungan dan ekspektasi manfaat kematian yang berbeda. Keuntungan pada model stokastik yang diperoleh perusahan pada usia tertanggung 35, 45, dan 55 tahun berturut-turut sebesar Rp9.445.498,66, Rp5.975.926,42, Rp2.197.106,56. yang diperoleh mengalami keuntungan namun semakin bertambah usia tertanggung, semakin kecil keuntungan yang

diperoleh perusahaan. Dari usia tertanggung 35, 45, dan 55 tahun memiliki nilai ekspektasi manfaat kematian secara berturut-turut sebesar Rp33.167,00, Rp99.007,00 dan Rp328.005,00.

Pada penelitian ini menggunakan usia tertanggung 35,45, dan 55 tahun dan penelitian selanjutnya disarankan menggunakan usia tertanggung yang berbeda dengan menggunakan suku bunga model Vasicek dan CIR.

DAFTAR PUSTAKA

Badruddin. (2011). Sejarah Singkat UNIT LINK.

Asuransi         Takaful         Syariah.

http://asuransitakafulsyariah.blogspot.com/2 011/04/blog-post_29.html

Bowers, N.L., Gerber, H.U., Hickman, J.C., Jones, D. A., & Nesbitt, C. J. (1997).

Actuarial Mathematics. The Society Of Acturies Banking. Vol. 2. No. 5. 137-147.

Dickson, D.C.M., Hardy, M.R.,& Water, H. R. (2009). Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks. Cambridge University Press.

Futami, T. (1993). Matematika Asuransi Jiwa, Bagian I (1st ed). Oriental Life Insurance Cultural Development Center..

Mandal, S. (2016). Unit linked Insurance Plans and their applications in India. tesis. University of Tartu.

Widana, I Nyoman., & Jayanegara, K. (2019). Analisis Produk Asuransi Unit Link Di Indonesia. E-Jurnal Matematika, 8(1), 42. https://doi.org/10.24843/mtk.2019.v08.i01.p 233

Yunita, Valeria Trisna. Widana, I Nyoman., & Harini, L. P. I. (2018). Perbandingan Profit Testing Model Deterministik Dan Stokastik Pada Asuransi Unit Link. E-Jurnal Matematika,         7(2),         194–202.

https://doi.org/10.24843/MTK.2018.v07.i02 .p203

112