e-Jurnal Matematika Vol. 2, No. 1, Januari 2013, 19-23

PENENTUAN KEUNTUNGAN MAKSIMUM PADA PENJUALAN OLAHAN TAPE DENGAN MENGGUNAKAN METODE LAGRANGE

(Studi Kasus: UD. Sari Madu)

Femy Ayu Astiti1, Ni Made Asih2, I Nyoman Widana3

1, 2, 3Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana, Bukit Jimbaran-Bali e-mail: 1[email protected] 2[email protected], 3[email protected]

Abstract

Optimization problems can be solved by various methods, such as Lagrange Method. This method can be used to find the solution. Using Lagrange method, the extreme value can be obtained, so that the optimal solution can be found. In this research, the maximum revenue of UD. Sari Madu is a limited by several constraints. After the objective function and constraint function being model, than maximum revenue is found. From first until fourth quarterly, the maximum revenue is found Rp. 9.701.333, Rp. 10.064.148, 9.793.272 and Rp. 9.397.730 respectively.

Keywords: Lagrange Method, Ekstrem Value, Optimization

  • 1.    Pendahuluan

Dalam sebuah perusahaan, hal yang ingin dicapai adalah mendapatkan keuntungan yang maksimum. Besarnya harga yang diberikan oleh supplier/perusahaan kepada pelanggan, akan memengaruhi jumlah keuntungan yang didapat. Apabila menentukan harga terlalu rendah, maka keuntungan yang diperoleh dari hasil penjualan produknya, akan rendah. Apabila menentukan harga terlalu tinggi, maka akan menurunkan minat pelanggan untuk membeli produk tersebut, yang akan mengakibatkan penurunan omzet perusahaan.

Dalam memaksimalkan keuntungan, dapat diselesaikan dengan optimasi matematika yang dilakukan dengan menggunakan program linear, program tak linear, program integer dan program dinamik (Cleland, [2]).

Teknik optimasi dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dengan fungsi berkendala maupun tak berkendala. Bentuk penyelesaian permasalahannya dapat berupa persamaan atau pertidaksamaan. Unsur terpenting pada suatu masalah optimasi adalah fungsi tujuan yang bergantung pada sejumlah peubah masukkan. Peubah-peubah ini dapat saling bergantung atau tidak, melalui satu atau lebih kendala (Bronson,[1]).

Metode Lagrange merupakan sebuah teknik yang dapat digunakan menyelesaikan masalah optimasi dengan kendala persamaaan. Inti dari metode ini

  • 1    Alumni Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

  • 2 ,3 Staf Pengajar Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

adalah mengubah titik ekstrem terkendala menjadi persoalan titik ekstrem bebas kendala. Sehingga dengan metode ini, didapat solusi untuk memperoleh keuntungan maksimum.

  • 2.    Metode Penelitian

Sumber data yang diperoleh dalam penelitian ini berasal dari observasi langsung dan dari data sekunder, yaitu data yang diperoleh melalui dokumen-dokumen yang telah tersedia di (UD. Sari Madu) yang merupakan supplier tape di Tiara Group dan Hardy’s Group. Dengan periode data 1 tahun (1 April 2011 – 31 Maret 2012).

Dalam penelitian ini, variabel yang digunakan adalah jenis tape dan harga tape. Untuk variabel jenis tape yaitu tape besar (^,1), tape kecil (X 2), tape bakar (X 3 ), jajan tape (X4), dan tape ketan (X 5). Dan untuk variabel harga tape yaitu harga tape yang di produksi dan harga jual produksi di supermarket.

Tahapan analisis pada penelitian ini meliputi :

  • 1.    Memodelkan masalah optimasi dalam bentuk sistem persamaan linear.

  • 1)    Menentukan variabel keputusan

Langkah awal dalam memodelkan suatu masalah yaitu dengan menentukan variabel-variabel yang berpengaruh di dalamnya. Untuk memodelkan masalah optimasi keuntungan pengiriman tape beserta olahannya ke dalam bentuk sistem persamaan linear terdapat beberapa variabel yaitu :

^ 1 = Jumlah pengiriman tape kemasan besar

Xj = Jumlah pengiriman tape kemasan kecil

X 3 = Jumlah pengiriman jajan tape

X4 = Jumlah pengiriman tape bakar

Xg = Jumlah pengiriman tape ketan

  • 2)    Menentukan fungsi tujuan

Tujuan yang ingin dicapai oleh perusahaan adalah untuk memperoleh keuntungan maksimum setiap jenis tape beserta olahannya. Hal ini diperoleh dari selisih antara harga produksi dengan harga jual produksi. Fungsi tujuan yang dapat dibentuk yaitu :

Tabel 1. Tabel Bentuk Baku Fungsi Tujuan

Supermarket

Tape Besar

Tape Kecil

*2

Tape Bakar

*3

Jajan Tape

*4

Tape Ketan

*5

Harga produksi

4400

2700

2900

2950

2700

Harga jual produksi

6000

4000

3500

4000

3500

Keuntungan

1600

1300

600

1050

800

Sehingga dari table 1 dapat dibentuk fungsi tujuan

Maks /(x) = 1600 x1 + 1300 x2 + 600 x3 + 1050 x4 + 800 x5

  • 3)    Menentukan fungsi batasan

Fungsi batasan dibentuk berdasarkan masing-masing supermarket, kemudian mencari peluang masing-masing produk terhadap total produk tersebut diproduksi dengan syarat batasan harus lebih kecil dari jumlah pengiriman pada masing-masing supermarket.

Periode waktu yang digunakan selama 1 tahun yang dipartisi menjadi 4 bagian, setiap bagian terdiri dari 3 bulan (triwulan). Bentuk baku fungsi batasannya yaitu:

Tabel 2. Tabel Bentuk Baku Pengiriman Tape dan Olahannya

Jenis

Toko

Koef

Koef

*2

Koef

*3

Koef

*4

Koef

Total

Tiara Group

flIl

a12

a13

a14

fl15

Σ Vl

Hardy’s Group

α21

fl22

fl23

fl24

fl25

Σ y2

Total

Σ 1I

Σx2

Σx3

ΣX4

Σ15    ∖

Σχy

Sehingga fungsi batasan yang dapat dibentuk adalah

Fungsi batasan triwulan I (April, Mei, Juni)

0,700 x1 + 0,704 x2 + 0,703 x3 + 0,698 x4 + 0,696 x5 < 0,300 x1 + 0,296 x2 + 0,297 x3 + 0,302 x4 + 0,304 x5 <

4266

1819


3968

2400


x1,x2,x3,x4,x5 > O

Fungsi batasan triwulan II (Juli, Agustus, September)

0,631 x1 + 0,626 x2 + 0,641 x3 + 0,662 x4 + 0,526 x5 ≤ 0,369 x1 + 0,374 x2 + 0,359 x3 + 0,338 x4 + 0,474 x5 <

x1,x2,x3,x4,x5 > O

Fungsi batasan triwulan III (Oktober, November, Desember)

0,654 x1 + 0,649 x2 + 0,667 x3 + 0,666 x4 + 0,615x5 ≤ 4003

0,346 x1 + 0,351 x2 + 0,333 x3 + 0,336 x4 + 0,385 x5 < x1,x2,x3,x4,x5 > O

2151


3624

2332


Fungsi batasan triwulan IV (Januari, Februari, Maret)

0,617 x1 + 0,615 x2 + 0,624 x3 + 0,598 x4 + 0,533 x5 < 0,383 x1 + 0,385 x2 + 0,376 x3 + 0,402 x4 + 0,467 x5 <

x1,x2,x3,x4,x5 > O

  • 2.    Menentukan titik optimum dengan menggunakan Metode Lagrange.

Setelah kita menentukan variabel keputusan, memodelkan fungsi tujuan dan fungsi batasan maka akan dicari nilai untuk masing-masing nilai x, untuk masing-masing triwulan dengan bantuan software Maple. Setelah memperoleh nilai x, maka akan dicari nilai A untuk masing-masing kendala. Dengan

mengetahui titik-titik kritis dan nilai λ , substitusi ke dalam fungsi Lagrangian (Rao,[3]) yang didefinisikan sebagai berikut

L{x,λ} = f(x) + ∑^=1⅛∙ (x)        untuk nilai j=1,2,3,…,m (1)

Sehingga akan diperoleh keuntungan maksimum penjualan tape beserta olahannya.

  • 3.    Hasil dan Pembahasan

Menentukan nilai optimum pada triwulan 1, untuk mencari masing-masing nilai x, digunakan software Maple untuk mempermudah perhitungan, sehingga diperoleh nilai

x1 = 6063.3333,       , *3 = 0, x4 = 0 , *5 = 0. Dengan mengetahui nilai x,

nilai z diperoleh dengan cara mensubstitusi fungsi kendala ke dalam persamaan :

λj-9jW = 0

Maka akan diperoleh nilai Λ1 = 0 dan A2 = 0 . Dengan memasukkan nilai x1,xz,x3,x4,x5 dan Λ1,A2 yang telah diperoleh ke dalam fungsi Lagrangian maka didapat nilai /(χ) = 9701333.

Hasil tersebut menunjukan bahwa perusahan ini akan mencapai keuntungan maksimum apabila memproduksi tape kemasan besar (^l) sebanyak 6063 pcs. Produk lain seperti tape kemasan kecil (*2), jajan tape (^ 3 ), tape bakar (^ 4) dan tape ketan (^ 5) tidak perlu diproduksi. Karena hanya dengan memproduksi Λ'l, perusahaan akan mencapai keuntungan maksimum tanpa memproduksi produk yang lainnya yaitu sebesar Rp. 9.701.333

Dengan langkah yang sama seperti pada triwulan 1, maka hasil yang diperoleh untuk triwulan 2, 3 dan 4 apabila dibentuk dalam tabel maka hasilnya adalah

Tabel 3. Tabel Keuntungan Maksimum Triwulan

Triwulan

x (pcs)

x (pcs)

x (pcs)

x (pcs)

x (pcs)

Keuntungan (Rp)

I

6.063

0

0

0

0

9.701.333

II

6.288

0

0

0

0

10.064.148

III

6.120

0

0

0

0

9.793.272

IV

5.874

0

0

0

0

9.397.730

Hal ini menunjukkan bahwa perusahaan ini akan mencapai keuntungan maksimum hanya dengan memproduksi tape kemasan besar (x1).

  • 4.    Kesimpulan

  • 1)    Fungsi tujuan dibentuk dengan cara mengalikan keuntungan dengan masing-masing produk tape sehingga diperoleh model sebagai berikut: Maks f (x) = 1600 x1 + 1300 x2 + 600 x3 + 1050 x4 + 800 x5

  • 2)    Dari triwulan I sampai IV, produk yang harus diproduksi adalah tape kemasan besar (Λ∙∣). Jumlah produksi sebanyak 6063 pcs dengan keuntungan Rp. 9.701.333, 6288 pcs dengan keuntungan Rp. 10.061.489, 6121 pcs dengan keuntungan Rp. 9.793.272, dan 5874 pcs dengan keuntungan .

Daftar Pustaka

  • [1]    Bronson, R. 1982. Theory and Problem of Operations Research. USA: McGraw Hill Inc.

  • [2]    Cleland, D.I. dan D.F. Kacaogln. 1980.Engineering Management. Johanesburg: McGraw Hill International Book Company

  • [3]    Rao, S.S. 1984. “Optimization Theory and Applications (Second Edition)”. USA: Deptt of mechanical Engg.San Diego State University

23