E-Jurnal Matematika Vol. 7(3), Agustus 2018, pp. 271-277

DOI: https://doi.org/10.24843/MTK.2018.v07.i03.p214

ISSN: 2303-1751

PERBANDINGAN KEKONVERGENAN METODE CONDITIONAL MONTE CARLO DAN ANTITHETIC VARIATE DALAM MENENTUKAN HARGA OPSI CALL TIPE BARRIER

Ni Luh Putu Kartika Wati1§, Komang Dharmawan2, Kartika Sari3

1Program Studi Matematika, Fakultas MIPA – UniversitasUdayana [Email: kartika_wati10@yahoo.com]

2Program Studi Matematika,Fakultas MIPA – UniversitasUdayana [Email:k.dharmawan@unud.ac.id]

3Program Studi Matematika, Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: sarikaartika@unud.ac.id] §Corresponding Author

ABSTRACT

Barrier option is an option where the payoff price depends on whether or not the stock price passes the barrier during its life time. The aim of the research is to compare the convergence between conditional Monte Carlo and antithetic variate methods in determining the call barrier option price. The call barrier option price is influenced by several factors: initial stock price, stock volatility, riskfree interest rate, maturity, strike price and barrier. The calculation of call barrier option price is obtained by simulating stock price movements with different simulation number. Based on the simulation result, it is obtained that the calculation of call barrier option price with conditional Monte Carlo method converge faster than the antithetic variate method.

Keywords: Call Barrier Option, Conditional Monte Carlo and Antithetic Variate

  • 1.    PENDAHULUAN

Opsi merupakan suatu kontrak antara pihak penerbit opsi (writer) dan pihak pemegang opsi (holder) yang memberikan hak, bukan kewajiban kepada holder untuk membeli atau menjual aset pokok dengan suatu harga tertentu (strike price) pada saat tertentu di masa yang akan datang (expiration date). Berdasarkan jenisnya, opsi dapat dibedakan menjadi dua yaitu opsi vanila dan opsi eksotik

Opsi barrier adalah salah satu bagian dari opsi eksotik yang merupakan suatu opsi di mana payoff-nya bergantung pada apakah harga aset melewati barrier atau tidak selama masa hidup opsi tersebut. Opsi barrier terdiri atas opsi call dan opsi put yang terbagi atas empat jenis yaitu up and in, up and out, down and in dan down and out. Terdapat beberapa metode yang digunakan untuk menentukan harga opsi, diantaranya metode Black-Scholes, metode Binomial Tree, dan Monte Carlo (Higham, 2004).

Pada penelitian Wang & Wang (2011), harga opsi put tipe barrier down and out

dihitung menggunakan metode Monte Carlo standar dan variance reduction. Monte Carlo variance reduction yang digunakan adalah control variate, antithetic variate, conditional Monte Carlo dan kombinasi conditional Monte Carlo dengan importance sampling. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa penentuan harga opsi put tipe barrier down and out menggunakan metode control variate dan antithetic variate menghasilkan standard error yang lebih kecil dibandingkan metode conditional Monte Carlo dan kombinasi conditional Monte Carlo dengan importance sampling. Selain itu, Artini (2016) mengestimasi Value At Risk (Var) pada opsi beli tipe Asia yang dihitung menggunakan metode Importance Sampling. Kemudian Artanadi et al. (2016) juga menghitung harga opsi beli tipe Asia dengan metode Monte Carlocontrol variate dan Putri et al. (2018) menghitung harga opsi put tipe barrier down and out menggunakan metode antithetic variate

yang hasil perhitungannya dibandingkan dengan metode Monte Carlo standar.

Sehubungan dengan hasil penelitian Wang & Wang (2011), serta mengingat conditional Monte Carlo dan antithetic variate merupakan bagian dari Monte Carlo variance reduction yang konvergensinya cepat maka penulis tertarik untuk membandingkan kekonvergenan dari metode conditional Monte Carlo dan antithetic variate dalam menentukan harga opsi call tipe barrier down and out.

  • 2.    TINJAUAN PUSTAKA

Metode conditional Monte Carlo merupakan salah satu pengembangan dari metode Monte Carlo standar di mana metode ini memanfaatkan teknik pengurangan varians. Metode conditional Monte Carlo merupakan suatu teknik untuk mengatasi data yang memiliki varians yang besar. Hal ini dapat dilakukan dengan cara mentransformasi peubah-peubah menggunakan nilai harapan bersyarat sehingga varians dari data dapat berkurang (Kroese et al., 2011).

Pergerakan harga saham dari opsi barrier mengikuti gerak Brown geometrik dengan suku bunga bebas risiko r dan volatilitas σ dengan

rumus:

S=   ( r~4


(1)


Menurut Boyle et al. (1997) , perhitungan opsi tipe barrier diawali dengan

membangkitkan bilangan acak yang berdistribusi normal standar sehingga diperoleh vektor harga saham

S={Sto , St1,…,StB }.

Selanjutnya menghitung harga opsi call tipe barrier down and in dengan rumus:

E(E(P|S))=E(BS ( StB ,K,r,T

- τβ ,σ)I{TB≤T})

dengan menggunakan model Black-Scholes diperoleh BS(S t,K,r,T-t,σ) dan harga opsi call tipe Eropa. Setelah itu mengurangkan opsi call tipe Eropa dengan opsi call tipe barrier down and in sehingga diperoleh harga opsi call tipe barrier down and out.

Perhitungan harga opsi menggunakan metode antithetic variates mengikuti gerak

Brown geometrik dengan cara membangkitkan

dua bilangan acak yang berdistribusi normal

standar dan dilanjutkan dengan nilai duga

̂ + =     (r~4 )∆t+σZ√∆ ~t

dan nilai duga antithetic yaitu:

̂ =    (r^ )∆t-σz√∆ ~c

menentukan

(2)

(3)


Selanjutnya menghitung harga opsi call tipe

barrier down and out untuk masing masing nilai duga dengan persamaan berikut:

P= max( St -K,0)I{Tb≤T} (4)

  • 3.    METODE PENELITIAN

Data yang digunakan adalah data kuantitatif. Sumber data yang digunakan adalah data sekunder, yaitu menggunakan data historis berupa harga penutupan (closing price) harian dari saham PT. Bank Negara Indonesia Tbk. dengan kode saham BBNI.JK. Data tersebut merupakan data harga penutupan harian selama satu tahun yang dimulai dari 19 Desember 2016 sampai dengan 15 Desember 2017 sebanyak 253 luaran saham yang dapat diakses melalui situs http://finance.yahoo.com

Adapun     langkah-langkah     dalam

menentukan harga opsi call tipe barrier down and out adalah sebagai berikut:

  • 1.    Mengumpulkan data harga saham Bank

Negara Indonesia

  • 2.  Menentukan nilai return saham

  • 3.  Menentukan volatilitas saham

  • 4.    Menentukan nilai harga saham awal ( ^O ), suku bunga bebas risiko (r), waktu jatuh tempo (T), barrier (B), volatilitas saham (σ) dan memilih strike price (K).

  • 5.    Menghitung nilai opsi call tipe barrier down and out dengan metode conditional Monte Carlo

  • a.    Membangkitkan bilangan acak yang berdistribusi normal standar.

  • b.    Menghitung nilai estimasi harga saham pada periode yang telah ditentukan dengan persamaan saham (1).

  • c.    Menghitung harga opsi call tipe Eropa dan harga opsi call tipe barrier down and in menggunakan model Black-Scholes

  • d.    Menghitung masing-masing harga opsi call tipe barrier down and out dengan mengurangkan harga opsi call tipe Eropa dan harga opsi call tipe barrier down and in.

  • e.    Ulangi langkah (a) sampai (d) sebanyak 50, 100, 200, 500, 600, 700, 800, 900, 1.000, 10.000, 100.000, dan 1.000.000 simulasi.

  • f.    Menghitung rataan dari harga opsi sehingga diperoleh harga opsi call tipe barrier down and out.

  • 6.    Menghitung nilai opsi call tipe barrier down and out dengan metode antithetic variate

  • a.    Membangkitkan dua bilangan acak yang berdistribusi normal standar.

  • b.    Menghitung nilai estimasi harga saham pada periode yang telah ditentukan dengan persamaan (2) dan (3).

  • c.    Menghitung masing-masing harga opsi menggunakan persamaan (4)

  • d.    Ulangi langkah (a) sampai (c) sebanyak sebanyak 50, 100, 200, 500, 600, 700, 800, 900, 1.000, 10.000, 100.000, dan 1.000.000 simulasi.

  • e.    Menghitung rataan dari harga opsi sehingga diperoleh harga opsi call tipe barrier down and out.

Selanjutnya, membandingkan kekonver-genan hasil perhitungan harga opsi call tipe barrier down and out yang dihitung menggunakan metode conditional Monte Carlo dan antithetic variate.

  • 4.    HASIL DAN PEMBAHASAN

Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data kuantitatif berupa data harga penutupan (closing price) harian dari saham BBNI.JK. Data tersebut merupakan data harga penutupan harian selama satu tahun yang dimulai dari 19 Desember 2016 sampai dengan 15 Desember 2017 sebanyak 253 keluaran

1.


2.


3.


saham. Langkah-langkah dalam menentukan harga opsi adalah sebagai berikut:


Menentukan nilai return menggunakan persamaan berikut:

¾ = (⅛)

Kemudian rata-rata nilai return dapat dihitung sebagai

n

̅̅̅=1∑ ¾ n i

t=ι

dan diperoleh nilai rata-rata return BBNI.JK sebesar 0.0021.

saham


saham


saham


Setelah diperoleh nilai return dan rata-rata return saham BBNI.JK, dihitung nilai varians dari saham BBNI.JK Dengan bantuan software Microsoft Excel 2007 diperoleh nilai varians dari saham BBNI.JK adalah 0.0002.

Kemudian menghitung volatilitas tahunan saham menggunakan persamaan berikut :

σ=√Var ×k sehingga diperoleh volatilitas tahunan saham BBNI.JK sebesar 0.231080235. Menentukan parameter-parameter yang memengaruhi harga opsi diantaranya

  • a.    Harga saham awal   ( ^Zq )   yang

digunakan yaitu sebesar Rp 9.375,-

  • b.    Nilai volatilitas saham (σ) yang dihitung berdasarkan data return harga saham BBNI.JK. Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh volatilitas tahunan sebesar 0.2310.

  • c.    Suku bunga bebas risiko (r) yang digunakan dalam penelitian ini diasumsikan konstan yaitu sebesar 5% per tahun yang merupakan suku bunga dari Bank Indonesia

  • d.    Waktu jatuh tempo (T) dari kontrak opsi adalah setelah satu tahun.

  • e.    Strike price (K) adalah suatu harga yang disepakati diawal kontrak opsi antara penerbit dan pemegang opsi. Harga kesepakatan yang digunakan dalam penelitian ini ada dua yaitu sebesar Rp 9.375,- dan Rp 9.500,-

  • f.    Nilai Barrier (B) adalah suatu harga batasan yang disetujui dari kesepakatan antara penerbit dan pemegang opsi. Nilai barrier pada opsi beli down and out selalu lebih kecil dari harga saham awal dan lebih kecil pula dari harga kesepakatan (K). Dalam penelitian ini ditetapkan nilai barrier Br Rp 9.000, -dan Rp 9.300,-.

Dalam penelitian ini dilakukan simulasi harga opsi call tipe barrier down and out dengan jumlah simulasi sebanyak 50, 100, 200, 500, 600, 700, 800, 900, 1.000, 10.000, 100.000 dan 1.000.000.

Selanjutnya dengan bantuan software Matlab diperoleh hasil simulasi harga opsi call tipe barrier down and out dilanjutkan dengan membandingkan kekonvergenan hasil simulasi harga opsi call tipe barrier down and out.

Tabel 1. Perbandingan Hasil Simulasi Harga Opsi Call Tipe Barrier Down and Out dengan K = 9.375 dan B = 9.000

Jumlah Simulasi

Conditional Monte Carlo

Antithetic Variate

Selisih Standard Error

Harga Opsi

Standard Error

Harga Opsi

Standard Error

50

513,38

43,94

441,62

121,16

72,21

100

502,31

31,08

466,63

90,46

59,38

200

514,22

22,61

479,51

65,12

42,50

500

504,53

13,90

541,29

43,44

29,53

600

510,13

12,89

503,57

38,04

25,14

700

504,26

11,72

510,03

35,91

24,19

800

506,91

11,11

505,00

33,32

22,21

900

506,85

10,43

502,07

31,34

20,91

1.000

506,43

9,89

506,08

30,09

20,20

10.000

506,83

3,12

506,58

9,50

6.37

100.000

506,61

0,98

506,70

2,99

2,01

1.000.000

506,46

0,31

506,77

0,94

0,63

Sumber: Data diolah (2018)

perhitungan harga opsi menggunakan metode

Selanjutnya, berdasarkan Tabel 1 diketahui bahwa dengan nilai K = 9.375 dan B = 9.000 menggunakan metode conditional Monte Carlo dan antithetic variate diperoleh hasil perhitungan harga opsi konvergen yang sama yaitu sebesar Rp506,-. Apabila dilihat dari segi standard error, hasil simulasi harga opsi menggunakan metode conditional Monte Carlo memiliki standard error yang lebih kecil dibandingkan hasil

antithetic variate. Selain itu, harga opsi dengan metode conditional Monte Carlo mulai konstan pada jumlah simulasi 800 sedangkan dengan metode antithetic variate, harga opsi baru konstan pada jumlah simulasi 1.000 sehingga hasil perhitungan harga opsi lebih cepat konvergen menggunakan metode conditional Monte Carlo dibandingkan dengan metode antithetic variate

Tabel 2. Perbandingan Hasil Simulasi Harga Opsi Call Tipe Barrier Down and Out dengan K = 9.375 dan B = 9.300

Jumlah Simulasi

Conditional Monte Carlo

Antithetic Variate

Selisih Standard Error

Harga Opsi

Standard Error

Harga Opsi

Standard Error

50

219,00

40,29

198,32

86,24

45,94

100

185,18

23,95

246,28

69,68

45,72

200

194,18

17,57

206,83

45,82

28,25

500

205,73

11,93

195,78

27,70

15,77

600

196,75

10,34

186,41

24,20

13,85

700

197,19

9,70

190,87

23,73

14,03

800

199,59

9,19

195,08

21,77

12,57

900

199,53

8,61

199,96

21,29

12,67

1.000

199,07

8,17

199,25

20,32

12,15

10.000

199,18

2,58

199,77

6,39

3,81

100.000

199,08

0,81

199,54

2,03

1,21

1.000.000

199,18

0,25

199,09

0,64

0,38

Sumber: Data diolah (2018)

Lebih lanjut lagi, berdasarkan Tabel 2 dapat dilihat perbedaan hasil simulasi dengan nilai K = 9.375 dan B = 9.300 dari segi standard error dan kekonvergenan hasil simulasi. Pada jumlah simulasi 1.000.000 standard error yang diperoleh dengan metode conditional Monte Carlo juga bernilai lebih kecil yaitu 0,25 dibandingkan dengan standard error yang diperoleh dengan metode antithetic variate yaitu sebesar 0,64. Oleh karena standard error yang diperoleh dengan menggunakan metode conditional Monte Carlo lebih kecil dibandingkan dengan metode antithetic variate maka metode conditional Monte Carlo lebih baik

digunakan untuk menghitung harga opsi call tipe barrier down and out.

Kedua, perbandingan kekonvergenan hasil simulasi harga opsi dapat dilihat pada harga opsi yang mulai konstan ketika simulasi dilakukan. Harga opsi yang diperoleh dengan metode conditional Monte Carlo mulai konstan pada jumlah simulasi 800 sedangkan dengan metode antithetic variate harga opsi baru mulai konvergen saat jumlah simulasi 900. Hal ini menunjukkan bahwa harga opsi yang dihitung menggunakan metode conditional Monte Carlo lebih cepat konvergen dibandingkan dengan metode antithetic variate.

Tabel 3. Perbandingan Hasil Simulasi Harga Opsi Call Tipe Barrier Down and Out dengan K = 9.500 dan B = 9.000

Jumlah Simulasi

Conditional Monte Carlo

Antithetic Variate

Selisih Standard Error

Harga Opsi

Standard Error

Harga Opsi

Standard Error

50

497,18

43,38

532,17

130,43

87,04

100

470,74

28,38

475,37

87,39

59,01

200

489,55

21,05

495,16

65,08

44,02

500

485,70

13,14

457,39

39,33

26,19

600

477,77

11,72

485,38

38,04

26,31

700

484,94

11,02

480,41

34,82

23,80

800

484,00

10,36

489,26

32,81

22,45

900

484,15

9,73

484,81

30,49

20,76

1.000

484,56

9,24

484,52

29,00

19,75

10.000

484,77

2,92

484,70

9,22

6,29

100.000

484,97

0,92

484,70

2,91

1,99

1.000.000

484,79

0,29

484,69

0,92

0,62

Sumber: Data diolah (2018)

Kemudian, perbedaan hasil simulasi juga dapat dilihat pada Tabel 3 yang menggunakan nilai K = 9.500 dan B = 9.000. Dengan jumlah simulasi 50 dengan metode conditional Monte Carlo diperoleh harga opsi sebesar 497,18 dengan standard error yaitu 43,38 sedangkan dengan metode antithetic variate diperoleh harga opsi sebesar Rp532,17 dengan standard error sebesar 130,43. Berdasarkan hasil tersebut, diketahui bahwa standard error yang diperoleh dengan metode conditional Monte Carlo lebih kecil dibandingkan dengan metode antithetic variate.

Selain itu, dari segi harga opsi yang diperoleh pada jumlah simulasi 50 juga berbeda yaitu dengan metode conditional Monte Carlo diperoleh Rp497,18 sedangkan dengan metode

antithetic variate diperoleh harga opsi sebesar Rp532,17. Harga opsi tersebut akan mulai konstan apabila jumlah simulasi diperbanyak. Dapat dilihat pula, dengan metode conditional Monte Carlo harga opsi mulai konstan pada jumlah simulasi 700 sedangkan dengan metode antithetic variate harga opsi baru konstan pada jumlah simulasi 900. Hal ini menunjukkan bahwa harga opsi yang dihitung dengan metode conditional Monte Carlo lebih cepat konvergen dibandingkan dengan metode antithetic variate.

Tabel 4. Perbandingan Hasil Simulasi Harga Opsi Call Tipe Barrier Down and Out dengan K = 9.500 dan B = 9.300

Jumlah

Simulasi

Conditional Monte Carlo

Antithetic Variate

Selisih Standard Error

Harga Opsi

Standard Error

Harga Opsi

Standard Error

50

184,06

30,51

209,92

101,22

70,71

100

195,91

24,58

207,00

67,85

43,27

200

185,47

16,49

198,77

45,06

28,57

500

196,28

11,19

193,87

27,44

16,25

600

188,55

9,82

200,88

25,85

16.03

700

191,99

9,24

196,67

23,87

14,62

800

191,63

8,66

191,68

21,60

12,94

900

191,68

8,09

191,55

20,81

12,72

1.000

191,93

7,71

191,39

19,90

12,18

10.000

191,59

2,43

191,90

6,27

3,83

100.000

191,44

0,77

191,86

1,97

1,20

1.000.000

191,31

0,24

191,57

0,62

0,37

Sumber: Data diolah (2018)

Pada Tabel 4 juga terlihat perbedaan dari hasil simulasi harga opsi call tipe barrier down and out walaupun digunakan nilai K = 9.500 dan B = 9.300 yang sama. Standard error yang diperoleh dengan metode conditional Monte Carlo lebih kecil dibandingkan standard error yang diperoleh dengan metode antithetic variate. Hal ini terlihat jelas pada jumlah simulasi 1.000.000 dimana standard error yang diperoleh dengan metode conditional Monte Carlo sebesar 0,24 sedangkan dengan metode antithetic variate diperoleh standard error sebesar 0,62. Selain itu, harga opsi yang dihitung menggunakan metode conditional Monte Carlo sudah konstan ketika jumlah simulasi 700 sedangkan dengan metode antithetic variate harga opsi baru konstan pada jumlah simulasi 800. Hal ini menunjukkan bahwa harga opsi yang dihitung menggunakan metode conditional Monte Carlo lebih cepat konvergen dibandingkan dengan metode antithetic variate.

  • 5.    SIMPULAN DAN SARAN

Dari hasil pembahasan yang telah dipaparkan sebelumnya, diketahui bahwa hasil perhitungan harga opsi call tipe barrier down and out dengan metode conditional Monte Carlo memiliki standard error yang lebih kecil di-bandingkan dengan metode antithetic variate. Selain itu, hasil perhitungan harga opsi dengan metode

conditional Monte Carlo juga lebih cepat stabil dan konvergen dibandingkan dengan metode antithetic variate.

Diharapkan penelitian selanjutnya digunakan opsi double barrier menggunakan teknik conditional Monte Carlo dan memasukkan faktor-faktor lain seperti pembagian dividen, komisi, dan pajak agar memberikan hasil yang lebih real.

DAFTAR PUSTAKA

Artanadi,N.N.   Ayu, K.Dharmawan, dan

Kt.Jayanegara (2016). Penentuan Harga Opsi Beli Tipe Asia dengan Metode Monte CarloControl Variate. E-Jurnal Matematika, 6(1), 29-36.

Artini,N.K. Ayu .(2016) Mengestimasi Value at Risk pada Opsi Beli Tipe Asia yang dihitung Menggunakan Metode Importance Sampling skripsi. Jimbaran: Universitas Udayana.

Boyle, P., M.Broadie, and P.Glasserman. (1997).

Monte Carlo Methods for Security Pricing. Journal of Economic Dynamics and Control , 21, 1267-1321.

Higham, Desmond J. (2004). An Introduction to Financial Option Valuation Mathe-matics, Stochastics, and Computation. New York: Cambridge University Press.

Kroese, D.P. ,T.Taimre, and Z.I.Botev. (2011). Handbook of Monte Carlo Methods. Great Britain: John Willey and Sons, Inc.

Putri,L.H.T. Wismawan, K.Dharmawan, dan, I.W.Sumarjaya (2018). Penentuan Harga Jual Opsi Barrier Tipe Eropa dengan Metode Antithetic Variate pada Simulasi Monte Carlo. E-Jurnal  Matematika, 7(2), 71-78.

Available at:

https://ojs.unud.ac.id/index.php/mtk/article/v iew/39548 terakhir diakses tanggal 12 Juli 2018.

Wang, Bing and Wang, Ling. (2011). Pricing Barrier Options Using Monte Carlo Methods. Sweden: Uppsala Universitet.

277