E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 1-6

ISSN: 2303-1751

PERBANDINGAN KEEFISIENAN METODE NEWTON-RAPHSON, METODE SECANT, DAN METODE BISECTION DALAM MENGESTIMASI IMPLIED VOLATILITIES SAHAM

Ida Ayu Ega Rahayuni§1, Komang Dharmawan2, Luh Putu Ida Harini3

§Corresponding Author

ABSTRACT

Black-Scholes model suggests that volatility is constant or fixed during the life time of the option certainly known. However, this does not fit with what happen in the real market. Therefore, the volatility has to be estimated. Implied Volatility is the etimated volatility from a market mechanism that is considered as a reasonable way to assess the volatility's value. This study was aimed to compare the Newton-Raphson, Secant, and Bisection method, in estimating the stock volatility value of PT Telkom Indonesia Tbk (TLK). It found that the three methods have the same Implied Volatilities, where Newton-Raphson method gained roots more rapidly than the two others, and it has the smallest relative error greater than Secant and Bisection methods.

Keywords: Black-Scholes, Implied Volatility, Newton-Raphson Method, Secant Method, Bisection Method

  • 1.    PENDAHULUAN

Salah satu alternatif instrumen investasi yang dapat ditawarkan kepada investor didalam pasar modal adalah opsi (option). Pada tahun 1973, model Black-Scholes dikembangkan oleh Myron Scholes dan Fischer Black. Model ini memberikan solusi untuk penilaian call option dan put option yang tidak memberikan dividen. Pada model Black-Scholes, volatilitas bersifat konstan atau tetap selama usia opsi diketahui pasti. Namun, hal ini tidak sesuai dengan apa yang terjadi pada pasar sebenarnya. Oleh karena volatilitas bergerak secara random dan tidak dapat diobservasi secara langsung, maka harus dilakukan penaksiran nilai volatilitas (Dharmawan & Widana [2]). Nilai volatilitas dapat ditaksir menggunakan Implied Volatility. Implied Volatility adalah volatilitas yang diestimasi dari mekanisme pasar dengan memilih kontrak opsi dengan expiration date yang sama. Berdasarkan keadaan persaingan pasar, Black dan Scholes menunjukkan bahwa harga saham

mengikuti gerak Brown geometrik pada suku bunga dan volatilitas tertentu. Pergerakan harga saham tersebut dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut

dSt = μSt d t + σSt d Wt              (1)

dengan

dSt : perubahan harga saham yang mengikuti gerak Brown geometric

μ    : rata-rata dari pengembalian saham

  • d t   : perubahan waktu

  • σ     : nilai volatilitas

Wt   : gerak Brownian

Menurut Lee [3], keadaan pasar yang demikian dikatakan tidak ada arbitrase. Dengan kata lain, pelaku pasar modal mengasumsikan bahwa harga opsi di pasar modal sama dengan harga teoritis yang dihitung menggunakan formula Black-Scholes, atau dapat ditulis sebagai

Cobs = CbsM                    (2)

dengan      menyatakan harga opsi observasi

yang diperoleh dari harga pasar sebenarnya,

dimana strike price (K) dan masa jatuh tempo opsi (T) sama dengan K dan T saham induk. Dalam hal ini, BS menyatakan harga opsi teoritis dari formula Black-Scholes yang didefinisikan oleh:

Cbs =    ( d1)-Ke~r( τ-t )N(^2)    (3)

dengan

=


ln(K_)+(L +12  )(L-I)

σ√T-t

(4)


d2 =   -σ√T                  (5)

dengan N(di) adalah fungsi distribusi normal kumulatif standar.

Nilai volatilitas selalu positif karena ^BS adalah konstan dan Cobs monoton naik pada [0,∞) (Dharmawan & Widana [2]).

Pada penelitian ini, solusi dari volatilitas akan diselesaikan menggunakan metode Newton-Raphson, metode Secant dan metode Bagi Dua (Bisection). Penurunan rumus metode Newton Raphson dapat dilakukan secara geometris dan dengan bantuan deret Taylor. Jika xi-l adalah hampiran saat ini, maka hampiran selanjutnya adalah xi yang dapat ditulis sebagai berikut.

f (xi-ι) f ( v . Λ

xi =    -  7-   ,  (   )≠0   (6)

J ( xi-ι)

sampai | er|<etol , dengan

| er|=|ξ^|,xi≠0            (7)

dan etol=10 5.

Metode Secant merupakan modifikasi dari metode Newton-Raphson, yaitu dengan mengganti fungsi turunan yang digunakan pada metode Newton-Raphson menjadi bentuk lain yang ekuivalen. Metode ini dimulai dengan

hampiran awal xi-ι dan xi untuk solusi X. Selanjutnya dihitung xi+ι sebagai hampiran

baru untuk σ , yaitu

χi+ι =


f(* )( * - χi-ι) f(xi)-f(χi-ι)

(8)


Metode Bagi Dua (Bisection) dimulai dengan sebuah interval [Xi~y, xi], dimana f(^i-1 ) dan f( xi) berbeda tanda (Mathews [4]). Secara sistematis metode Bisection adalah pencarian akar dengan mengurangi interval pertama untuk memilih titik

xi-ι + xi

xi+ι=2

metode separuh

(9)


dan kemudian menganalisa kemungkinan yang akan timbul:

  • (i)    Jika f(^i-1 ) dan f(xi+ι) berbeda tanda, akar terletak di [^i-1, *i + l ]

  • (ii)    Jika f(xi+ι) dan f( xi ) berbeda tanda, akar terletak di [xi+ι, xi ]

  • (iii)    Jika f(xi+ι)=0, diperoleh bahwa akar pada X=

Jika salah satu dari kasus (i) atau kasus (ii) terjadi, diperoleh interval yang merupakan setengah bagian dari interval pertama yang mengurung akar dan mengurangi separuh interval tersebut dengan proses yang sama. Pada proses selanjutnya, separuh interval baru tersebut dinamai [^i-1, xi ] dan proses diulang sampai | er|<etol. Jika kasus (iii) terjadi, maka akar adalah χi+ι .

Selanjutnya membandingkan perhitungan antara metode Newton-Raphson, metode Secant,   dan metode Bisection dalam

mengestimasi nilai volatilitas saham.

  • 2.    METODE PENELITIAN

  • A.    Jenis dan Sumber Data

Jenis data yang digunakan pada penelitian ini adalah data sekunder yang berupa data numerik. Adapun data yang digunakan terdiri dari strike price, dan harga saham sekarang (15 Mei 2015) dari saham PT Telekomunikasi Indonesia Tbk (TLK) dengan masa jatuh tempo opsi selama tiga bulan yang diperoleh dari http://finance.yahoo.com, data harga observasi call option diperoleh dari http://optiondata.net.

sampai | er|<etol .


  • B.    Algoritma untuk Menaksir Implied Volatility

Tahapan-tahapan yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut:

  • 1.    Mencari harga observasi call option ( C0bs) yang memiliki masa jatuh tempo dan strike price yang sama dengan saham induk, serta mencari harga saham sekarang dari underlying asset.

  • 2.    Menentukan fungsi volatilitas dan mencari turunan pertamanya.

  • 3.    Menyelesaikan persamaan dari fungsi volatilitas menggunakan metode numerik, yakni metode Newton-Raphson, metode Secant, dan metode Bisection.

  • a. Penyelesaian Menggunakan Metode

Newton-Raphson

Langkah 1: Tetapkan hampiran awal (σ^1), eooi = 10 _5, iterasi maksimum   (max _ i rer) =

100

Langkah 2: Menghitung nilai  f (σi _ 1)

dan turunan pertama fungsinya (    )

Langkah 3: Menentukan nilai hampiran kedua ( ) yang terletak pada

perpotongan garis singgung di  ( σ _ ι,∕(σi _ J)  dengan

sumbu , dapat dihitung menggunakan persamaan (6)

Langkah 4: Menghitung   ∣er∣ dengan

persamaan (7)

Langkah 5: Melakukan pengecekan:

  • (i)    Jika ∣er∣ < e0ol, maka iterasi selesai dengan      sebagai

solusi σ dari fungsi volatilitas

( )

  • (ii)    Jika     ∣er∣ > e10l,     maka

kembali ke langkah 1.

b.Penyelesaian menggunakan metode Secant

Langkah 1: Tetapkan hampiran awal σi _ 1 dan σ,     rto1 = 10 _ 5,

max itrr = 100.

Langkah 2: Mengitung nilai f ( σi _ 1) dan f (σt)

Langkah 3: Menentukan hampiran baru σi+1 dengan persamaan (8)

Langkah 4: Menghitung   |er|   dengan

persamaan (7)

Langkah 5: Melakukan pengecekan

  • (i)    Jika ∣er∣ < e10l, maka iterasi selesai dengan      sebagai

solusi dari fungsi volatilitas

()

  • (ii)    Jika |   | >     , maka

kembali ke langkah 1 dengan menjadikan σi sebagai σi _ 1 dan     sebagai .

  • c. Penyelesaian menggunakan metode Bisection

Langkah 1: Tetapkan hampiran awal dan     σ,     et0t = 10 _ 5,

max itrr = 100.

Langkah 2: Hitung nilai  f(σl _ 1) dan

f W

Langkah 3: Memeriksa bahwa fungsi berubah tanda sepanjang interval [σi_ 1,σi], ini dapat diperiksa            dengan:

f (Pi - 1)∕(σi) < 0.       Jika

terpenuhi, hampiran awal dapat digunakan untuk iterasi berikutnya, namun jika tidak terpenuhi, pilih hampiran awal baru.

Langkah 4: Hampiran ketiga σi+1 dapat ditentukan    menggunakan

persamaan (9).

Langkah 5: Hitung nilai f(σi+1)

Langkah 6: Lakukan evaluasi sebagai berikut untuk menentukan di dalam subinterval mana akar fungsi terletak:

  • (i)    Jika    f(σi_ 1)f(σi+J < 0,

maka σi = σi+1

  • (ii)    Jika    f(σi_ 1 )f(σi+1) > 0,

maka <_ _ 1 = σl+1

Langkah 7: Menghitung   ∣er∣ dengan

persamaan (7)

Langkah 8: Melakukan pengecekan.

  • (i)    Jika    ∣er∣ < e10i,    dengan

i = 1,2,..., n, maka iterasi selesai dengan o;+1 sebagai solusi σ dari fungsi volatilitas f(o)

  • (ii)    Jika   ∣er∣ > e10b   dengan

i = 1,2, ..., n, maka kembali ke langkah 4.

  • 4.    Membandingkan nilai taksiran Implied Volatility, kecepatan iterasi, serta membandingkan keakuratan masing-masing metode dengan membandingkan nilai error relatif |er| dari masing-masing metode.

  • 3.    HASIL DAN PEMBAHASAN

Fungsi volatilitas dapat didefinisikan

sebagai

f (σ) = Cobs - (StN(di)

(10)

-Ke_r(_ V Ntd2))

atau

f (σ) = Cbbs - CBS(a)

adalah kontinu dan memiliki turunan berikut:

f λ _  f Cbs (σ)

(11) sebagai

j (u)

∂ σ

„    ---- 1

= -St√T -t-=e  2

√2t

(12)

adalah kontinu.

Teorema Eksistensi dan Ketunggalan (Waluya [5]), “Misalkan f dan f f/ ∂σ kontinu, maka solusinya ada dan tunggal”. Dalam hal ini, diperoleh bahwa f(σ) dan -^^) kontinu, maka Teorema Eksistensi dan Ketunggalan terpenuhi, yaitu terdapat solusi tunggal dari persamaan (11).

Tabel 1 Iterasi dengan Menggunakan Metode Newton-Raphson

i

σi-ι

f (oi^

f '(ot_ i)

Oi

|ej

1

0.060000

0.055815

-6.529788

0.068548

1.246985e-001

2

0.068548

-0.002051

-6.984392

0.068254

4.301345e-003

3

0.068254

-0.000002

-6.971129

0.068254

4.084282e-006


Tabel 2 Iterasi dengan Menggunakan Metode Secant

i

σi-l

f (σi - i)

f (od

σi+ι

Ierl

1

0.060000

0.055815

0.100000

-0.237620

0.067609

4.791029e-001

2

0.100000

-0.237620

0.067609

0.004490

0.068209

8.806070e-003

3

0.067609

0.004490

0.068209

0.000312

0.068254

6.568799e-004

4

0.068209

0.000312

0.068254

-0.000001

0.068254

1.393661e-006


Tabel 3 Iterasi dengan Menggunakan Metode Bisection

i

σi-ι

f(σi-l)

Oi

f( Oi )

σi+ι

f(Oi+r)

| er |

1

0.060000

0.055815

0.100000

-0.237620

0.080000

-0.084613

2.500000e-001

2

0.060000

0.055815

0.080000

-0.084613

0.070000

-0.012240

1.428571e-001

3

0.060000

0.055815

0.070000

-0.012240

0.065000

0.022433

7.692308e-002

4

0.065000

0.022433

0.070000

-0.012240

0.067500

0.005243

3.703704e-002

5

0.067500

0.005243

0.070000

-0.012240

0.068750

-0.003464

1.818182e-002

6

0.067500

0.005243

0.068750

-0.003464

0.068125

0.000899

9.174312e-003

7

0.068125

0.000899

0.068750

-0.003464

0.068438

-0.001280

4.566210e-003

8

0.068125

0.000899

0.068438

-0.001280

0.068281

-0.000190

2.288330e-003

9

0.068125

0.000899

0.068281

-0.000190

0.068203

0.000354

1.145475e-003

10

0.068203

0.000354

0.068281

-0.000190

0.068242

0.000082

5.724098e-004

11

0.068242

0.000082

0.068281

-0.000190

0.068262

-0.000054

2.861230e-004

12

0.068242

0.000082

0.068262

-0.000054

0.068252

0.000014

1.430820e-004

13

0.068252

0.000014

0.068262

-0.000054

0.068257

-0.000020

7.153588e-005

14

0.068252

0.000014

0.068257

-0.000020

0.068254

-0.000003

3.576922e-005

15

0.068252

0.000014

0.068254

-0.000003

0.068253

0.000005

1.788493e-005

16

0.068253

0.000005

0.068254

-0.000003

0.068254

0.000001

8.942384e-006

Tabel 4 Perbandingan Nilai Volatilitas, Error Relatif dan Kecepatan Iterasi dari Metode Newton-


Raphson, Metode Secant dan Metode Bisection

Metode

Newton-Raphson

Secant

Bisection

Implied Volatility (σ)

6,8254%

6,8254%

6,8254%

Berhenti pada Iterasi ke- i    \

3

4

16

Error Relatif | er |

4,084282e-006

1,393661e-006

8,942384e-006


Berdasarkan Tabel 1, dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai volatilitas diperoleh pada iterasi ke-3 yaitu dengan nilai = 0,068254 = 6,8254% dan error relatif | er | = 4,084282е - 006. Berdasarkan Tabel 2, dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai volatilitas diperoleh pada iterasi ke-4 yaitu dengan nilai σ = 0,068254 = 6,8254% dan error relatif | er | = 1,393661е - 006. Berdasarkan Tabel 3, dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai volatilitas diperoleh pada iterasi ke-16 yaitu dengan nilai σ = 0,068254 = 6,8254% dan error relatif |er| =8,942384е-006. Berdasarkan Tabel 4 diperoleh hasil simulasi menggunakan metode Newton-Raphson, metode Secant, dan metode Bisection dengan nilai Implied Volatility yang sama, yaitu 6,8254%. Simulasi berhenti secara berturut-turut pada iterasi ke-3; 4; 16 dengan nilai error

relatif secara berturut-turut sebesar 4,084282e-006; 1,393661e-006; 8,942384e-006. Implied Volatility yang diperoleh menggunakan metode Newton-Raphson, Secant, dan Bisection memiliki nilai yang lebih besar dari nilai Implied Volatility di pasar modal, yaitu sebesar 6,25%. Berdasarkan pemaparan pada bab II, Implied Volatility yang tinggi mengakibatkan harga opsi menjadi mahal dan berlaku sebaliknya.

Berdasarkan tabel 1, 2, dan 3, diperoleh bahwa pada iterasi ke-3 metode Newton-Raphson, metode Secant dan metode Bisection secara berturut-turut memiliki error relatif sebesar 4,084282e-006; 6,568799e-004; 7,692308e-002. Dalam hal ini, metode Newton-Raphson memiliki error relatif terkecil pada iterasi ke-3 yaitu sebesar 4,084282e-006. Artinya, metode Newton-Raphson lebih akurat

Rahayuni, I.A.E., Dharmawan, K., Harini, L.P.I dibandingkan metode Secant dan metode Bisection. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa metode Newton-Raphson adalah metode terbaik dalam menaksir Implied Volatility saham, karena metode Newton-Raphson konvergen paling cepat dan paling akurat dibandingkan metode Secant dan metode Bisection.

  • 4.    KESIMPULAN DAN SARAN

  • A.    Kesimpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya, estimasi Implied Volatility saham menggunakan metode Newton-Raphson, metode Secant dan metode Bisection dengan hampiran awal 0,06 dan hampiran kedua 0,1 untuk metode Secant dan metode Bisection memiliki perolehan nilai Implied Volatility yang sama, yaitu 6,8254% yang nilainya lebih tinggi dari Implied Volatility di pasar modal, yaitu 6,25%. Implied Volatility yang tinggi akan mengakibatkan harga opsi menjadi mahal. Metode Newton-Raphson lebih cepat konvergen, yaitu pada iterasi ke-3 dan menghasilkan nilai error relatif yang lebih kecil dari pada metode Secant dan metode Bisection. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa metode Newton-Raphson adalah metode terbaik dalam menaksir Implied Volatility saham, karena metode ini konvergen paling cepat dan paling akurat dibandingkan metode Secant dan metode Bisection..

  • B.    Saran

Metode Newton-Raphson, Secant dan Bisection tidak dapat memberikan keputusan di dalam pasar modal, metode ini hanya dapat menaksir nilai Implied Volatility, yang dapat digunakan sebagai gambaran/acuan dalam melakukan suatu keputusan. Implied Volatility juga dapat ditaksir menggunakan metode GARCH (conditional volatility), Monte Carlo dengan simulasi, dan Model Heston dengan stokastik volatilitas.

DAFTAR PUSTAKA

  • [1]    Black, F. & Scholes, M., 1973. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. The Journal of Political Economy, 81(3), PP. 637-659.

  • [2]    Dharmawan, Komang & Widana, I Nyoman., 2011. Aplikasi Algoritma Biseksi dan Newon-Raphson dalam Menaksir Nilai Volatilitas Implied. Jurnal Matematika Vol. 2 No. 1, Desember 2011. ISSN: 1693-1394.

  • [3]    Lee, Roger. W., 2002. Implied Volatility: Statics, Dynamics, and Probabilitic Interpretation. Recant Advances in Applied Probability 2005, pp. 241-268.

  • [4]    Mathews, John H.,  1992. Numerical

Methods. For Mathematics, Science, and Engineering.   Second edition. USA:

Prentice-Hall International, Inc.

  • [5]    Waluya, St. Budi., 2006. Buku Ajar Persamaan Diferensial, 21-23.

6