PERLUASAN REGRESI COX DENGAN PENAMBAHAN PEUBAH TERIKAT-WAKTU

E-Jurnal Matematika Vol. 3 (3), Agustus 2014, pp. 86-91

ISSN: 2303-1751

PERLUASAN REGRESI COX DENGAN PENAMBAHAN PEUBAH TERIKAT-WAKTU

Luh Putu Ari Dewiyanti^§1, Ni Luh Putu Suciptawati², I Wayan Sumarjaya³

¹Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: [email protected]] ²Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: [email protected]] ³Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: [email protected]]

^§Corresponding Author

ABSTRACT

The aim of this study is to model job hunting period in Bali in 2012 using Extended Cox model. Previous study concluded that household status and age variables were not significantly influenced the job hunting period. However, previous study on factors that influence job waiting suggests that both variables should play important role in determining the waiting time for job hunters. Thus incorporating time-dependent covariates into model is necessary. After incorporating time-dependent covariates we found that age with timedependent covariate is significant. Hence we obtain the following model

ℎ(t,X(t))=ℎ₀(t) ехр[-0,28271X₁ - 0,32952X₂ + 1,51686X3(divorced) + 0,37016^χ3 (married) - 0,00547^79 (t)]

Keywords: extended Cox model, job hunting period, survival analysis

• 1.    PENDAHULUAN

Analisis sintasan merupakan sekumpulan prosedur statistika yang digunakan untuk analisis data, dengan peubah yang diperhatikan adalah waktu sampai terjadinya suatu kejadian (Kleinbaum & Klein [2]). Waktu sampai terjadinya suatu kejadian ini dikenal dengan istilah waktu sintasan yang dapat dinyatakan dalam hari, bulan, maupun tahun. Waktu sintasan ini digunakan dalam mengukur data waktu suatu kejadian tertentu seperti respon, kematian, kegagalan, dan pembebasan bersyarat (Lee & Wang [3]).

Metode regresi yang paling umum digunakan dalam analisis sintasan adalah metode regresi Cox proportional hazard. Metode ini umum digunakan karena model tidak harus didasari oleh suatu distribusi tertentu, tanpa ditentukan baseline hazard

model ini dapat digunakan (Kleinbaum & Klein [2]). Metode regresi ini mempunyai asumsi yang harus dipenuhi yaitu rasio dari dua angka hazard harus konstan terhadap waktu kegagalan atau dengan kata lain hazard rate untuk satu individu sebanding dengan hazard rate individu lain. Namun terkadang terdapat beberapa kasus yang tidak semua peubah bebas memenuhi asumsi proportional hazard yang menyebabkan peubah bebas tersebut tidak akan signifikan terhadap model regresi Cox proportional hazard.

Oleh karena itu diperlukan metode lain untuk mendapatkan hasil yang lebih baik untuk menganalisis data sintasan tersebut. Terdapat alternatif cara ketika asumsi proportional hazard tidak terpenuhi salah satunya dengan menggunakan perluasan model

regresi Cox dengan penambahan peubah terikat-waktu.

Penelitian ini menggunakan studi kasus faktor-faktor yang memengaruhi lama mencari pekerjaan di Provinsi Bali pada tahun 2012. Studi kasus ini digunakan karena pada penelitian sebelumnya terdapat dua peubah yaitu umur dan status dalam rumah tangga yang tidak signifikan berpengaruh terhadap model lama mencari kerja. Sesungguhnya bila dikaitkan dengan beban tanggung jawab, status rumah tangga dari individu akan memiliki pengaruh terhadap lama mencari kerja. Individu dengan status kepala rumah tangga pastinya akan mencari pekerjaan lebih intensif daripada individu dengan status anggota rumah tangga. Faktor umur juga merupakan salah satu faktor yang memengaruhi cepat lambatnya individu mendapatkan suatu pekerjaan (Setiawan [4]). Oleh karena itu, perlu ditinjau kembali peubah umur dan status dalam rumah tangga ini kedalam metode perluasan model regresi Cox.

Tujuan penelitian ini adalah mengetahui bentuk perluasan model regresi Cox dengan penambahan peubah terikat-waktu. Selain itu, tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui diantara kedua faktor yang akan diuji, faktor manakah yang berpengaruh dalam lama mencari pekerjaan di Provinsi Bali dengan menggunakan perluasan model regresi Cox dengan penambahan peubah terikat-waktu.

• 2.    KAJIAN PUSTAKA

Regresi Cox proportional hazard merupakan salah satu metode regresi yang paling populer digunakan dalam analisis sintasan ketika hendak mengetahui hubungan antara waktu kejadian dengan peubah bebas tertentu pada saat dilakukannya penelitian (Kleinbaum & Klein [2]). Misalkan risiko individu ke- i mengalami kejadian pada saat t yaitu h(t) bergantung pada nilai x₁,x₂, — ,xp dari peubah bebas X_i,X₂ ,—,X_p. Himpunan nilai peubah bebas dinyatakan dalam vektor x

dengan x = (x₁ ,x₂ , —,x_p) (Collett [1]). Secara umum persamaan model Cox proportional hazard adalah sebagai berikut

(Kleinbaum & Klein [2]):

P

h( t, x) = h ₀(t) exp ∑ β _l

Notasi h₀(t) merupakan baseline hazard, vektor β adalah parameter nilai peubah bebas x₁ ,x₂ , — ,xp dalam model. Nilai hazard ratio pada model regresi Cox proportional hazard dapat dituliskan sebagai berikut (Kleinbaum & Klein [2]):

h( t, x^

HR =

h( ,  )

_ ho(Qeχp[∑^ _r β_lx_l*} h o(t)eχp[∑^ ₁βx J

- P

∑β(xi-

= exp

dengan x_i* dan x_i merupakan vektor peubah bebas dari dua individu yang berbeda, yang mana xf = (x₁*, x₂ *,...,x_p*) dan x_i =

(x₁,x₂,...,x_p). Terlihat bahwa perbandingan hazard kedua objek tetap sepanjang waktu, atau tidak bergantung pada waktu, ini menandakan bahwa asumsi proportional hazard terpenuhi.

Berbeda dengan persamaan regresi Cox proportional hazard, persamaan perluasan model regresi Cox dengan penambahan peubah terikat-waktu adalah sebagai berikut (Kleinbaum & Klein [2]):

h⁽ t, xt t)) = h o

Pi

(t) exp ∑ β_ix t + i=i

P₂

∑ δ_jXj(t)

J=¹

dengan x(t) = (xι,x2, — ,xp ₁, χ_i(f), X⁽(t)—..,X( ((t)), peubah ,  ,—,     adalah peubah yang

bebas oleh waktu, dan x₁( t), X(t t ), — ,x_p (t t) adalah peubah bebas yang terikat-waktu. Notasi adalah vektor parameter dari peubah bebas terikat-waktu yang berlaku untuk setiap dan merupakan vektor parameter dari peubah bebas tidak terikat-waktu. Pada penelitian ini menggunakan fungsi waktu adalah ( ) = , sehingga model ini dapat

dituliskan sebagai:

h(t,x(t)) = ⅛(0exp[∑?* ₁β_ix_i +∑J± ₁⅝¾∙(t)].

Hazard ratio dalam model tersebut ditunjukkan dengan perbandingan dua kelompok peubah bebas x* dan x ditambahkan dengan pengaruh waktu sehingga didapat x*( t) dan x( t), secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut:

h( t,x*(t)) flk(t) =  : ’   ;

h(t,x(t)

₌ ⅛(t) exp(∑⅛ ₁β_ix_i*+^j ₁δχx_j*g_jtt)) ⅛(t) exp (∑^ ₁β_lx_l + ∑^ ₁ δ_jx_jg_jtt)}

[v a Γ

= exp ∑βjx t

*

P2                        1

- x_;] + ∑ ⅞ [x∕K) - xj(O] I

dengan nilai parameter δ_j akan berbeda-beda

pada setiap peubah bebas yang terikat oleh waktu dan parameter δ_j ini mengartikan pengaruh keseluruhan dari hubungan antara

peubah bebas terikat oleh waktu dengan melihat semua waktu pada peubah yang digunakan dalam penelitian. Apabila nilai parameter Sj <0 maka hazard ratio akan turun bersamaan dengan naiknya waktu. Ini mengakibatkan tidak konstannya hazard ratio yang juga berarti bahwa asumsi proportional hazard tidak terpenuhi untuk perluasan model

ini.

• 3.    METODE PENELITIAN

Penelitian ini menggunakan data SAKERNAS 2012 dengan menggunakan unit observasi penduduk Bali umur produktif (15–64 tahun) yang sedang mencari pekerjaan, selain itu pula penelitian ini hanya mencakup pengangguran yang berstatus mencari pekerjaan saja atau yang dikatakan pengangguran terbuka. Batasan masalah penelitian ini adalah fungsi waktu yang digunakan pada penambahan peubah terikat-waktu adalah g (t) = t.

Adapun langkah analisis pada penelitian ini adalah:

• 1.    Melakukan estimasi terhadap perluasan model regresi Cox. Estimasi model ini dilakukan dengan menambahkan peubah

terikat-waktu pada dua peubah yang tidak berpengaruh secara signifikan dalam penelitian. Peubah yang tidak berpengaruh signifikan tersebut ialah peubah X₅ yaitu status dalam rumah tangga dan peubah yaitu umur. Sehingga perluasan model regresi Cox dapat dituliskan sebagai berikut:

h(t,^χ(t)) = MOexpIftxi +β₂ x₂ +β₃ x₃

+ β₄ x₄ + β5 x5 + β₆x₆

+ β₇x₇ + ¾ x5 g(t) + δ7x7g( t)^]

• 2.    Melakukan pengujian parameter secara simultan maupun secara parsial. Pengujian parameter  ini bertujuan untuk melihat

apakah peubah bebas dengan penambahan peubah     terikat-waktu     berpengaruh

signifikan  atau tidak terhadap model.

Apabila dalam pengujian parameter terdapat peubah bebas yang terbukti berpengaruh signifikan terhadap peubah terikat maka peubah bebas tersebut dapat dimasukkan kedalam perluasan model regresi Cox. Statistik uji yang digunakan dalam pengujian parameter secara simultan adalah uji likelihood ratio,

XlR = ^-2ln⅛ mo de I ^- (^-2lni ext Cox mo de l)∙

• 3.    Menentukan perluasan model regresi Cox dengan melihat p-value dari seluruh peubah bebas yang ada, apabila p-value kurang dari taraf signifikansi 0,05 maka peubah bebas tersebut dapat masuk kedalam perluasan model regresi Cox

• 4.    HASIL DAN PEMBAHASAN

Model awal perluasan regresi Cox dengan penambahan peubah terikat-waktu pada penelitian ini adalah sebagai berikut:

h( t, x(t)) = h ₀ (t) exp[β1x1 + β2 x2 + β₃ x ₃

^{+ β}4^x4 ^{+ β}5 ^x5 ^{+ β}6 ^x6 ^{+ β}7^x7 + δ5 x 5 g (t) + δ7 x 7 g( t)^]

dengan penambahan peubah terikat-waktu pada peubah yaitu status dalam rumah tangga dan x₇ yaitu umur. Fungsi waktu yang digunakan dalam perluasan model regresi Cox ini adalah g (0 = t.

Untuk menghitung nilai dugaan perluasan model regresi Cox dan nilai likelihood ratio digunakan pengujian secara serentak pada perluasan model regresi Cox dapat menggunakan bantuan program SAS 9.2. Pengujian parameter peubah terdiri dari dua jenis, yaitu:

• 1.    Pengujian Peubah Bebas Terhadap Waktu

Pengujian parameter dengan peubah bebas terhadap waktu bertujuan untuk melihat apakah peubah bebas yang tidak terikat-waktu memiliki pengaruh atau tidak terhadap peubah terikat.

Pengujian Secara Simultan

Uji simultan bertujuan untuk mengetahui pengaruh peubah bebas dengan peubah terikat secara serentak atau sekaligus. Hipotesis yang digunakan dalam uji simultan dari parameter peubah bebas yang tidak terikat-waktu adalah sebagai berikut:

Ho: βι — βz — "^ — βp — O

H₁: minimal ada satu dari β_i ≠ 0, dengan i — 1,2, ...,p

Statistik uji yang digunakan dalam pengujian ini Xlr — -2(lnL ⅛_r-lnLikp) , dengan L_dsr merupakan nilai likelihood pada model dasar dan L_tkp adalah nilai dengan model lengkap. Apabila xf_R > Xp._a dengan p merupakan jumlah dari parameter dan a adalah taraf signifikansi sebesar 0,05 maka keputusan tolak H₀ [2].

Pengujian Secara Parsial

Uji parsial yang digunakan ialah uji Wald dengan pengujian ini peubah bebas yang tidak mempunyai pengaruh signifikan   akan

dikeluarkan dari model. Hipotesis untuk uji Wald ialah sebagai berikut:

H₀: β^ 0

H₁: β_i ≠ 0, untuk i — 1,2, ..p

Statistik uji yang digunakan adalah β. I²

sebagai berikut: χ^ — [^^] . Jika nilai

Xw > X²_a  dengan derajat bebas 1 maka

keputusan tolak .

• 2.    Pengujian Peubah Bebas Terikat-Waktu

Pada umumnya konsep pengujian parameter peubah bebas terikat-waktu dan parameter peubah bebas terhadap waktu adalah sama. Pengujian secara simultan dan secara parsial sama-sama menggunakan uji likelihood ratio dan uji Wald.

Pengujian Secara Simultan

Perumusan hipotesis untuk uji likelihood ratio adalah sebagai berikut:

H₀: ^δι ^{— δ}2 ^— " ^{— δ}p ^{— 0}

H₁: paling sedikit ada satu parameter δj yang tidak sama dengan 0, dengan j' — 1,2, ..p

Statistika uji yang digunakan adalah sebagai berikut:

Xlr -2lnLp_{p m0}d _ei   (-2lnL_ext ^_{0x m0}d _e)

Apabila hasil dari     > dengan

merupakan jumlah dari parameter yang digunakan maka keputusan ialah tolak .

Pengujian Secara Parsial

Hipotesis untuk uji Wald adalah sebagai berikut:

H₀ ∙.δ — δ_j — 0

H₁ ∙.δ ≠ δj ≠ 0 dengan j' — 1,2,...,p

Pengujian secara parsial pada perluasan model regresi Cox menggunakan statistik uji dan kriteria uji yang sama dengan model regresi Cox proportional hazard. Statistik uji yang

Γ S- I² digunakan ialah: X^ — |^p| .

Selanjutnya, nilai estimasi parameter perluasan model regresi Cox dan likelihood ratio dapat dihitung dengan bantuan program SAS 9.2. Nilai likelihood ratio digunakan untuk menguji parameter perluasan model

regresi Cox serentak pada dapat dilihat

secara serentak. Pengujian perluasan model regresi Cox dari nilai yaitu sebesar

92,1720 yang lebih besar dari χ_{1 1}.₀,_{0 5} yaitu

19,675 sehingga dapat disimpulkan bahwa

secara serentak peubah bebas memiliki pengaruh terhadap peubah terikat.

Selanjutnya akan dilakukan pengujian pada peubah terikat-waktu dengan hipotesis H₀: S₅ = 0 melawan H₁: S₅ ≠ 0 untuk peubah status rumah tangga terikat-waktu, dan

hipotesis H_o:S₇ = 0 melawan H₁^₇ ≠0 untuk peubah umur terikat-waktu. Taraf signifikansi yang digunakan ialah a = 0,05 dengan statistik uji untuk peubah status rumah tangga terikat-waktu x₅g(t) adalah:

2

^Xw   [SE (S₅)

sedangkan, untuk pengujian parameter peubah umur terikat-waktu x₇g(t) memiliki statistik

uji:

SE(Sj)

Jika nilai χW > X²;0,05 = 3,841 atau jika p-value < a = 0,05 maka keputusan tolak

H₀. Hasil perhitungan dari program SAS 9.2 untuk estimasi parameter perluasan model regresi Cox menunjukkan bahwa peubah status rumah tangga yang terikat waktu memiliki p-value lebih besar dari taraf signifikansi 0,05 yaitu sebesar 0,1746 sehingga keputusan gagal menolak H₀ dan ditarik kesimpulan bahwa peubah status rumah tangga yang terikat-waktu tidak berpengaruh terhadap lama mencari kerja.

Peubah umur yang terikat-waktu memiliki p-value kurang dari 0,05 yaitu sebesar 0,0136 ini menandakan bahwa peubah umur terikat-waktu memiliki pengaruh terhadap lama mencari kerja di provinsi Bali. Ini juga menandakan bahwa memang peubah umur tidak memenuhi asumsi proportional hazard, sehingga ketika dilakukan pengujian dengan metode regresi Cox proportional hazard peubah umur dinyatakan tidak berpengaruh terhadap lama mencari kerja.

Selanjutnya akan ditentukan bentuk dari perluasan model regresi Cox dengan melihat p-value dari masing-masing peubah. Terdapat empat peubah bebas yang memiliki p-value kurang dari taraf signifikansi 0,05. Empat peubah bebas tersebut adalah peubah daerah

tempat tinggal, peubah jenis kelamin, peubah status perkawinan, dan peubah umur terikat-waktu. Sehingga secara matematis perluasan model regresi Cox yang didapat dapat dituliskan sebagai berikut:

h(t,x(t)) = ho(t) exp[^ιXι + βχX₂ + ^₃x₃ + S7X7^(t)]

h(t,x(t)) = h_o(t)exp[-0,28271x₁ - 0,32952x₂

+ 1,51686x₃(_cera0 + 0,37016x₃(_fcαwin) - 0,00547x₇5(t)]

dengan h ₀(t) merupakan baseline hazard yang tidak perlu ditentukan, peubah ,   ,   , dan

( ) berturut-turut adalah daerah tempat tinggal, jenis kelamin, status perkawinan dan peubah umur terikat-waktu. Interpretasi dari hasil perluasan model regresi Cox adalah:

• 1.    Peubah daerah tempat tinggal memiliki parameter regresi yang bernilai negatif yaitu -0,28271 dan nilai hazard ratio 0,754. Ini menandakan bahwa individu yang tinggal di kota memiliki kesempatan mendapatkan pekerjaan 0,754 kali lebih lama dibandingkan dengan individu yang tinggal di desa

• 2.    Peubah jenis kelamin dengan kategori laki-laki sebagai referensi, memiliki parameter regresi negatif dengan nilai 0,32952 dan nilai hazard ratio 0,719. Ini menandakan individu berjenis kelamin perempuan memiliki    kesempatan mendapatkan

pekerjaan sebesar 0,719 kali lebih lama dibandingkan dengan laki-laki.

• 3.    Peubah status kawin memiliki parameter regresi positif pada kategori cerai dan kategori sudah kawin. Peubah status kawin dengan kategori cerai memiliki hazard ratio sebesar 4,558 dan hazard ratio sebesar 1,448 pada peubah status kawin dengan kategori sudah kawin. Ini berarti individu yang telah cerai memiliki kesempatan mendapatkan pekerjaan 4,558 kali dibandingkan dengan individu yang belum kawin. Sedangkan untuk individu yang sudah kawin memiliki kesempatan mendapatkan pekerjaan 1,448 kali dibandingkan dengan individu yang belum

kawin. Hal ini berarti bahwa individu yang memiliki status belum kawin memiliki masa mencari kerja lebih lama dari pada individu dengan status sudah kawin.

Terhadap Lama Mencari Kerja Bagi Tenaga Kerja Terdidik Di Kota Magelang. Skripsi. Universitas Diponegoro. Semarang.

• 4.    Peubah umur dengan nilai hazard ratio 0,995,   yang menandakan bahwa

penambahan umur satu tahun memiliki kesempatan mendapatkan pekerjaan sebesar 0,995 kali dari umur sebelumnya. Dengan kata lain, individu dengan umur setahun lebih muda akan lebih cepat mendapatkan pekerjaan.

• 5.    SIMPULAN

Perluasan model regresi Cox untuk data sintasan lama mencari kerja di Provinsi Bali 2012 adalah

ℎ(t,X(t))=ℎ₀(t)ехр[-0,28271Xi - 0,32952X₂

+ 1,51686X3 (cerai)

+ 0,37016X3 (kawin)

- 0,00547x₇g (t)]

dengan ℎQ(t) merupakan baseline hazard yang tidak perlu ditentukan, peubah ^X1 yaitu daerah tempat tinggal, peubah X₂ yaitu jenis kelamin, peubah X₃ yaitu status perkawinan, dan peubah x₇g(t) yaitu faktor umur dengan terikat-waktu.

Peubah status rumah tangga terikat-waktu tidak berpengaruh signifikan terhadap lama mencari kerja, sedangkan dengan peubah umur terikat-waktu peubah umur terikat-waktu berpengaruh signifikan terhadap lama mencari kerja.

DAFTAR PUSTAKA

• [1]    Collett, D., 2003. Modelling Survival

Data in Medical Research. 2nd ed.

London: Chapman and Hall.

• [2]    Kleinbaum, D.G. & Klein, M., 2012.

Survival Analysis A Self-Learning

Text. 3rd ed. New York: Springer.

• 3]    Lee, E.T. and Wang, John. 2003.

Statistical Methods for Survival Data

Analysis. Third Edition. New York:

John Wiley and Sons.

• [4]    Setiawan, Satrio Adi. 2010. Pengaruh Umur, Pendidikan, Pendapatan, Pengalaman dan Jenis Kelamin

91