Jurnal Matematika Vol. 2 No. 2, Desember 2012. ISSN : 1693-1394

Produk Cartesius Semipgrup Smarandache

Yuliyanti Dian Pratiwi

Sekolah Tinggi Teknik Wiworotomo Purwokerto e-mail: dianhilal@gmail.com

Abstract: Smarandache semigroups is an expansion of semigroup structure, by taking a proper subset of semigroups which is in form of group. But, a proper subset which is in form of group cannot always be found in semigroups. Therefore, we need necessary requirements and prosperous requirements in the Smarandache semigroups. Besides, this study also shows some kinds of Smarandache semigroups, which have specific characteristics, namely Smarandache commutative semigroups and Smarandache cyclic semigroups. Then, by the definitions, we will investigate the form of its Cartecius product.

Keywords: Smarandache semigroups, Smarandache commutative subgroups, Smaran-dache cyclic semigroups, Cartesius product.

  • 1.    Pendahuluan

Pendefinisian Smarandache semigrup diperkenalkan oleh Raul (1998). Semigrup Smaran-dache merupakan perkembangan dari struktur semigrup, dengan mengambil subhim-punan sejati dari semigrup yang berbentuk grup. Tetapi subhimpunan sejati yang berbentuk grup tidak selalu dapat ditemukan pada semigrup. Untuk itu penelitian ini dibutuhkan syarat perlu dan syarat cukup di dalam semigrup Smarandache. dijelaskan juga jenis-jenis semigrup Smarandache yang memiliki sifat khusus seperti semigrup ko-mutatif Smarandache dan semigrup siklis Smarandache. Kemudian struktur grup yang telah dipela jari dapat dibentuk struktur baru yaitu dari produk Cartesiusnya. Dari fenomena tersebut artikel ini akan menjelaskan bentuk produk Cartesius dari dua semi-grup Smarandache, apakah masih merupakan semigrup Smarandache. Dan bagaimana konvers dari pernyataan tersebut. Bagian akhir diteliti juga untuk bentuk semigrup komutatif Smarandache dan semigrup siklis Smarandache. Sehingga diperoleh hasil penelitian dari artikel ini diperoleh bahwa sifat pada produk Cartesius struktur grup diturunkan juga pada struktur semigrup Smarandache.

  • 2.    Tinjauan Pustaka

    • 2.1.    Semigrup

Subbab ini akan menyajikan pengertian-pengertian dasar semigrup, subsemigrup, ideal semigrup, homomorfisma semigrup, sifat-sifat yang berkaitan dengan semigrup dan contoh yang terkait didalamnya. Pertama akan diberikan definisi semigrup sebagai berikut.

Definisi 2.1. [4] Himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan operasi biner ∗ , ditulis (S, ∗) disebut semigrup apabila memenuhi sifat assosiatif, yaitu (∀x, y, z ∈ S)(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).

Jika (∀x,y ∈ S) x * y = y * x maka S disebut semigrup komutatif. Untuk memperjelas Definisi 2.1, berikut akan diberikan beberapa contoh.

Contoh 2.1. Himpunan Z+ U {0} terhadap operasi × merupakan semigrup.

Contoh 2.2. Himpunan Sn×m = {(aij∖aij ∈ Z)} terhadap operasi penjumlahan matriks merupakan semigrup.

Contoh 2.3. Diberikan himpunan Sn, yang merupakan himpunan semua pemetaan satu-satu dari himpunan {x 1 ,x2, ∙ ∙ ∙ ,xn} ke dirinya sendiri. Sn terhadap operasi komposisi pemetaan merupakan semigrup.

Selanjutnya dalam mempelajari semigrup, terdapat beberapa elemen yang mempunyai sifat khusus. Definisi elemen-elemen dengan sifat khusus tersebut diambil dari buku Howie (1976)akan disajikan dalam definisi berikut.

Definisi 2.2. Diberikan semigrup S. Jika terdapat e ∈ S dan berlaku (Vs ∈ S) e * s = s * e = s, maka elemen e disebut elemen identitas dan selanjutnya S disebut monoid.

Setelah mendefinisikan elemen identitas, selanjutnya akan diberikan definisi elemen idempoten.

Definisi 2.3. [3] Diberikan semigrup S, elemen x ∈ S yang memenuhi x ∙ x = x2 = x disebut elemen idempoten.

Jika semigrup S memiliki elemen identitas, maka elemen identitas tersebut merupakan elemen idempotent. Untuk memperjelas definisi diatas, berikut diberikan contoh yang berkaitan dengan elemen idempotent.

Contoh 2.4. Diberikan semigrup Z10 = {0, 1, 2, ∙∙∙ , 9} terhadap operasi perkalian modulo 10. Jelas terdapat elemen idempotent, yaitu 5 ∈ Z10 karena berlaku 52 ≡ 5(mod 10) dan 6 ∈ Z10 karena berlaku 62 ≡ 6(mod 10).

Kemudian berikut akan mendefinisikan elemen pembagi, elemen unit dan elemen reguler.

Definisi 2.4. [3] Diberikan semigrup S dan a ∈ S.

  • 1.    Elemen b ∈ S disebut pembagi kiri a jika terdapat x ∈ S sehingga bx = a, dan disebut pembagi kanan a jika terdapat y ∈ S sehingga yb = a.

  • 2.    Suatu elemen b ∈ S disebut unit kiri dari a jika ba = a, dan disebut unit kanan dari a jika ab = a. Suatu elemen b ∈ S disebut unit dari a jika b merupakan unit kiri sekaligus unit kanan dari a.

  • 3.    Elemen a disebut reguler jika terdapat x ∈ S sedemikian hingga a × a = a.

  • 4.    Elemen a disebut reguler lengkap jika terdapat x ∈ S sedemikian hingga a × a = a dan ax = xa.

  • 5.    Elemen a ∈ S disebut unit kiri reguler dari a jika e merupakan unit kiri dari

  • a, dan a pembagi kiri e. Elemen e ∈ S disebut unit kanan reguler dari a jika e merupakan unit kanan dari a, dan a pembagi kanan e. Elemen e ∈ S disebut unit reguler dari a jika e merupakan unit dari a, dan a pembagi kiri dan kanan e.

Selanjutnya pada bagian ini akan dijelaskan definisi subsemigrup dari semigrup dan beberapa contoh dari subsemigrup.

Definisi 2.5. [3] Diketahui (S, ∗) semigrup. Himpunan tak kosong P ⊆ S disebut subsemigrup jika (P, ∗) merupakan semigrup.

Untuk lebih memperjelas Definisi 2.5, berikut akan diberikan contoh sederhana dari subsemigrup.

Contoh 2.5. Diberikan semigrup Z12 = {0, 1, 2, · · · , 11} terhadap operasi perkalian modulo 12. P = {0, 2, 4, 8} adalah subsemigrup dari S.

Selanjutnya seperti halnya struktur aljabar lainnya, dalam semigrup juga ditemukan suatu ideal. Ideal dalam semigrup sendiri didefinisikan seperti yang disajikan berikut ini.

Definisi 2.6. Diberikan semigrup S. Himpunan tak kosong T ⊆ S disebut ideal kanan dari S, jika (∀t ∈ T), (∀s ∈ S) berlaku ts ∈ T dan T disebut ideal kiri dari S, jika (∀t ∈ T) dan (∀s ∈ S) berlaku st ∈ T . Jika T merupakan ideal kanan sekaligus merupakan ideal kiri maka T disebut ideal dari semigrup S .

Misalkan A ⊆ S dan A ̸= 0. Irisan semua ideal kiri dari S yang memuat A juga merupakan ideal kiri yang memuat A dan merupakan ideal kiri terkecil yang memuat A. Selanjutnya disebut ideal kiri yang dibangun oleh A. Jika S semigrup, ideal kiri di S yang dibangun oleh A tidak lain adalah A ∪ SA = S′A dengan S′ = S ∪ {1} karena S semigrup yang tidak memuat elemen identitas, sehingga jika diambil a ∈ S maka secara umum Sa tidak memuat a. Dan dengan cara yang sama, ideal kanan yang dibangun oleh A adalah A ∪ AS = AS′ , sedangkan ideal yang dibangun oleh A adalah A∪SA∪AS∪SAS=S′AS′.

Secara khusus, jika A = {a} maka ideal kiri, ideal kanan dan ideal di S yang dibangun oleh secara berturut-turut adalah {a} ∪ Sa = S′a, {a} ∪ aS = aS′ dan {a} ∪ Sa ∪ aS ∪ SaS = S′aS′ . Selanjutnya dari definisi ideal yang telah dikenal sebelumnya, berikut akan diberikan contoh untuk memperjelas definisi ideal dari suatu semigrup.

Contoh 2.6. Diberikan semigrup M =


{ 0a 0b


|a, b ∈ Z} terhadap operasi perkalian


matriks. N =


{ a0 00


|a ∈ Z} ⊆ M adalah ideal dari semigrup M .


Dari definisi dan sifat yang telah dijelaskan di atas selanjutnya akan digunakan dalam memp ela jari konsep semigrup Smarandache. Dimana semigrup Smarandache merupakan semigrup yang memiliki sifat khusus, yang akan dijelaskan pada subbab selanjutnya.

  • 2.2.    Semigrup Smarandache

Konsep baru di dalam struktur aljabar Smarandache diperkenalkan oleh Padila Raul dan Smarandache Florientine pada tahun 1998. Yang salah satunya dikembangkan dalam struktur semigrup. Yang diberi nama dengan semigrup Smarandache dan selanjutnya di notasikan dengan S -semigrup. Pada bagian awal akan dijelaskan tentang konsep dasar pendefinisian semigrup.

Definisi 2.7. [4] Diberikan semigrup S, semigrup S disebut semigrup Smarandache (S-semigrup) apabila memuat subhimpunan sejati A, sedemikian sehingga A merupakan grup terhadap operasi yang sama dengan S.

Berikut akan diberikan contoh untuk memperjelas pendefinisan semigrup Smaran-dache.

Contoh 2.7. Diberikan semigrup M(n×n) = {(aij)∖aij ∈ Z} terhadap operasi perkalian matriks. Terdapat Pn×n = {(aij) = A∖∖A∖ = 0} C Mn×n yang merupakan grup terhadap operasi perkalian matriks. Jadi Mn×n merupakan S-semigrup.

Dari pendefinisian di atas jelas bahwa tidak semua semigrup merupakan semigrup Smarandache, sehingga diperlukan syarat perlu dan cukup suatu semigrup dikatakan semigrup Smarandache. Berikut diberikan teorema-teorema yang menunjukkan karakteristik semigrup Smarandache.

Teorema 2.1. Diberikan semigrup S. Semigrup S merupakan semigrup Smarandache jika dan hanya jika S memuat elemen idempoten.

Bukti:

(⇒) Diketahui S merupakan semigrup Smarandache, berarti terdapat subhimpunan sejati G C S sedemikian hingga G merupakan grup terhadap operasi biner yang sama pada S. Karena G merupakan grup, maka terdapat elemen netral e ∈ G dengan sifat e2 = ee = e, yang berarti e merupakan elemen idempoten. Jadi terbukti bahwa S memuat elemen idempoten.

(≠) Diketahui S memuat elemen idempoten. Ambil sebarang elemen idempoten e ∈ S. Dibentuk himpunan Ge = {a ∈ S∖e elemen unit reguler dari a}. Karena e idempoten, maka e merupakan unit reguler dari e. Oleh karena itu, e ∈ Ge dan berakibat Ge = 0. Akan ditunjukkan bahwa Ge merupakan grup terhadap operasi yang sama pada S . Ambil sebarang gι ,g2 ∈ Ge, berarti e merupakan elemen unit reguler dari g 1 dan g2. Artinya, terdapat u 1 ,u2,v 1 ,v2 ∈ S sedemikian hingga:

e = g1u1, e = g2u2, e = v1g1, dan e = v2g2

Oleh karena itu, diperoleh:

(g1g2)(u2u1) = g1 (g2u2)u1 = g1eu1 = g1u1 = e (v2v1)(g1g2) = v2(v1g1)g2 = v2eg2 = v2g2 = e

dan

(g1g2)e = g1 (g2e) = g1g2 e(g1g2) = (eg1)g2 = g1g2

Jadi e merupakan elemen unit reguler dari g 1 g2, sehingga g 1 g2 ∈ Ge. Karena Ge C S, maka sifat asosiatif dari semigrup S secara langsung diwariskan pada Ge . Jadi, Ge merupakan semigrup dengan unit e(Ge monoid). Selanjutnya klaim bahwa eu1e merupakan invers dari g1 . Perhatikan bahwa:

e(eu1e) = (ee)u1e = eu1e (eu1e)e = eu1 (ee) = eu1e

dan

e = ee = g1u1e = (g1e)u1e = g1(eu1e)

e = v1g1 = v1(eg1) = v1(eeg1) = v1(g1u1)eg1 = (v1g1)u1eg1 = eu1eg1 = (eu1e)g1

Dari sini diperoleh bahwa eu1e merupakan invers kiri sekaligus invers kanan dari g1 dan e merupakan elemen unit reguler dari eu1e, sehingga eu1e ∈ Ge. Karena pengambilan g1 sebarang di Ge , maka diperoleh kesimpulan bahwa setiap elemen di Ge mempunyai invers di Ge . Jadi, Ge ⊂ S merupakan grup terhadap operasi biner yang sama pada S . Dengan kata lain, merupakan semigrup Smarandache.

Teorema 2.3 menjelaskan bahwa syarat perlu dan cukup suatu semigrup merupakan semigrup Smarandache adalah memuat elemen idempoten. Selanjutnya akan diberikan syarat perlu dan cukup yang lain sehingga suatu semigrup merupakan semigrup Smaran-dache, yaitu memuat elemen regular lengkap.

Teorema 2.3 menjelaskan bahwa syarat perlu dan cukup suatu semigrup merupakan semigrup Smarandache adalah memuat elemen idempoten. Selanjutnya akan diberikan syarat perlu dan cukup yang lain sedemikian hingga suatu semigrup merupakan semi-grup Smarandache, yaitu memuat elemen regular lengkap.

Teorema 2.2. Diberikan semigrup S. Semigrup S merupakan semigrup Smarandache jika dan hanya jika S memuat elemen reguler lengkap.

Selanjutnya apabila subhimpunan sejati yang merupakan grup tersebut bersifat ko-mutatif maka S tersebut disebut dengan semigrup komutatif Smarandache, seperti dijelaskan pada definisi berikut.

Definisi 2.8. Diberikan semigrup Smarandache S. Jika S terdapat paling sedikit satu subhimpunan sejati dari S yang merupakan grup komutatif terhadap operasi yang sama pada S, maka S disebut semigrup komutatif Smarandache (S -semigrup komutatif).

Begitupula jika subhimpunan sejati dari S merupakan grup merupakan grup siklis, maka dapat didefinisikan semigrup siklis Smarandache sebagai berikut.

Definisi 2.9. Diberikan semigrup Smarandache S. Jika terdapat paling sedikit satu subhimpunan sejati dari S yang merupakan grup siklis terhadap operasi yang sama pada S, maka S disebut semigrup siklis Smarandache (S-semigrup siklis).

Kemudian pada bagian ini juga akan dijelaskan sifat-sifat dan teorema dasar dalam jenis-jenis semigrup Smarandache yang telah dijelaskan pada penjelasan sebelumnya.

Teorema 2.3. Jika S S-semigrup siklis kuat, maka S merupakan S -semigrup komutatif kuat.

Konvers dari Theorem 2.3 di atas, tidak berlaku. Sebagaimana dijelaskan pada teorema di bawah ini.

Teorema 2.4. Diketahui S S -semigrup komutatif. Secara umum S belum tentu merupakan S -semigrup siklis.

Penelitian selanjutnya akan menganalisis bentuk produk Cartesius dari dua grup dibawa ke bentuk semigrup Smarandache dan dapat diturunkan menjadi suatu teorema sebagai berikut.

Teorema 2.5. Jika S1 dan S2 merupakan S-semigrup maka S1 × S2 juga merupakan S-semigrup.

Bukti: Dari sifat grup, diperoleh jika G dan H grup, maka G × H merupakan grup terhadap operasi untuk setiap (s 1 ,p 1), (s2,p2) ∈ S × P yaitu:

(s1 , p1)(s2, p2) = (s1s2, p1p2) (1)

Selanjutnya diambil sembarang S-semigrup S dan P, terdapat subhimpunan G ⊂ S dan H ⊂ P yang merupakan grup terhadap operasi yang sama dengan semigrupnya. Himpunan G × H merupakan subhimpunan sejati S × P dan sesuai dengan sifat grup, diperoleh G × H berbentuk grup. Jadi pro duk Cartesius S × P merupakan S-semigrup. Konvers dari Teorema 2.5 dijelaskan pada teorema berikut ini.

Teorema 2.6. Diketahui S1 dan S2 semigrup yang terdapat elemen yang tidak memiliki elemen invers. Jika S1 × S2 S-semigrup terhadap operasi (2.1), maka S1 merupakan S-semigrup atau S2 merupakan S-semigrup.

Bukti: Karena terdapat X ⊂ S1 × S2 yang berbentuk grup terhadap operasi (3.1) maka (Vx ∈ X)(∃S 1Λs2 ∈ S2)x = (s 1, s2). Kemudian dibentuk X = G × H dengan G = {s 1 ∈ S11(∃h ∈ S2)(s 1, h)} ⊆ S1, H = {s2 ∈ S21(∃S 1)(h, s2) ∈ X} ⊆ S2. Untuk setiap s 1 ,s2 ∈ G terdapat h 1, h2 ∈ S2 sedemikian sehingga (s 1, h 1)(s2, h2) = (s 1 s2, h 1 h2) ∈ G × H, jadi s 1 s2 ∈ G dan h 1 h2 ∈ H. Sifat assosiatif diturunkan dari grup X = G × H. Kemudian terdapat (e, f) ∈ G × H sedemikian sehingga untuk setiap (s 1 ,h) ∈ G × H berlaku (e, f)(s1 , h) = (s1 , h) = (s1 , h)(e, f), akibatnya es1 = s1 = s1e. Selanjutnya untuk elemen invers dari s 1 ∈ G maka terdapat h ∈ S 2, sehingga (e, f) = (s 1 s-1 ,hh-1) = (s1, h)(s1-1, h-1). Jadi untuk setiap s1 ∈ G tedapat s1-1 ∈ G, s1s1-1 = s1-1s1 = e. Dari sini diperoleh G merupakan grup di S1 . Begitupula dengan H juga merupakan grup di S2. Karena S1 atau S2 bukan grup, maka G = S1 dan H = S2. Menggunakan Theorema 2.6 diperoleh kesimpulan S1 atau S2 merupakan S-semigrup.

Selanjutnya akan diselidiki untuk produk Cartesius dari S-semigrup yang memiliki sifat khusus yaitu masing-masing merupakan S-semigrup komutatif dan S-semigrup sik-lis sebagai berikut.

Teorema 2.7. Jika S1 dan S2 merupakan S-semigrup komutatif (siklis), maka S1 × S2 merupakan S-semigrup komutatif (siklis).

Konvers dari Teorema 2.11 dijelaskan pada teorema berikut ini.

Teorema 2.8. Diketahui S1 dan S2 semigrup yang terdapat elemennya tidak memiliki elemen invers. Jika S1 × S2 merupakan S-semigrup komutatif, maka S1 merupakan S-semigrup komutatif atau S2 merupakan S-semigrup komutatif.

  • 3.    Kesimpulan

Beberapa hasil penting atau sifat-sifat yang dapat dijadikan sebuah kesimpulan dari tulisan ini adalah sebagai berikut:

  • 1.    Struktur semigrup Smarandache merupakan kejadian khusus dari struktur semi-grup.

  • 2.    Jika S 1 dan S2 merupakan S-semigrup maka S 1 × S2 juga merupakan S-semigrup.

  • 3.    Diketahui S 1 dan S2 bukan grup. Jika S 1 × S2 merupakan S-semigrup, maka S 1 merupakan S-semigrup atau S2 merupakan S -semigrup.

Daftar Pustaka

  • [1]    Adkins, W. A. danWeintraub, S. H.,1992,Algebra An Approach via Module Theory, Spinger-Verlag, New York.

  • [2]    Clifford, A.H. dan Preston, G.B.,1961, The Algebraic Theory OfSemi-groups.Volume 1, American Mathematical Society.

  • [3]    Howie, J.M., 1976, Introduction To Semigroup Theory. Academic Press.

  • [4]    Kandasamy, W. B. ,2002, Smarandache Semigroups, American Researh Prees.

  • [5]    Kandasamy, W. B., 2009, Smarandache Special Definite Algebraic Struc-tures.Infolearquest.

  • [6]    Kandasamy, W. B., Sujatha, J. dan John, M.M., 2002, SmarandacheGrupoids, National Symposium on Mathematical Method and Applications, Indian Institute of Technology, India.

  • [7]    Kandasamy, W. B., Sujatha, J. dan John, M.M., 2004, SmarandacheDobleCosets in a S-Semigroups, National Symposium on Mathematical Method and Applications, Indian Institute of Technology, India.

  • [8]    Rao. C. S..On Smarandache Semigroups. Department of Mathematics. DNR College. Bhimavaram. India.