BEBERAPA SIFAT IDEAL GELANGGANG POLINOM MIRING: SUATU KAJIAN PUSTAKA

Jurnal Matematika, Vol. 1, No. 1, 2010, 16—20

BEBERAPA SIFAT IDEAL GELANGGANG POLINOM MIRING: SUATU KAJIAN PUSTAKA

AMIR KAMAL AMIR

Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Hasanuddin 90245 Email : [email protected]

INTISARI

Misalkan R adalah suatu gelanggang dengan elemen satuan 1, σ adalah suatu endomorfisme, dan δ adalah suatu σ — derivatif. Gelanggang polinom miring (skew polynomial) atas R dengan variabel x adalah gelanggang: R[x;σ,δ] = {f (x) = a_nxⁿ + —+ a0 | ai ∈ R} dengan aturan perkalian xa = σ(a)x + δ(a) . Penelitian ini akan mengidentifikasi ideal-ideal dari gelanggang polinom miring dalam hal δ = 0. Lebih jelasnya, akan didentifikasi hal-hal berikut: (1) ideal dari gelanggang polinom miring D[x; σ]; (2) ideal prim dari gelanggang polinom miring K[x; σ]; dan ideal σ — prim dari gelanggang polinom miring D[x; σ].

Kata kunci: automorfisme, daerah integral, σ — prim.

SOME IDEAL PROPERTIES OF

SKEW POLYNOMIAL RING: A LITERATURE STUDY

AMIR KAMAL AMIR

Mathematics Department, FMIPA, Hasanuddin University 90245 Email : [email protected]

ABSTRACT

Let R be a ring with identity 1 and σ be an endomorphism of R and δ be a left σ — derivation. The skew polynomial ring over R in an indeterminate x is: R[x; σ, δ] = {f (x) = a_nxⁿ +-----+ a0 | ai ∈ R} with xa = σ(a)x + δ(a) The aim of this research is to investigate the ideals in the above skew polynomial ring in case of δ = 0 . Precisely, we will investigate the following: (1) the ideal of skew polynomial ring D[x;σ]; (2) the ideal prim of skew polynomial ring K[x;σ]; and (3) the σ — prim ideal of skew polynomial ring D[x; σ].

Keywords: automorphism, integral area, σ — prim.

• 1.    PENDAHULUAN

Definisi dari gelanggang polinom miring (gelanggang takkomutatif) ini pertama kali diperkenalkan oleh Ore (1993) yang mengombinasikan ide awal dari Hilbert (kasus δ=0) dan Schlessinger (kasus σ = 1). Sejak kemunculan artikel dari Ore ini, gelanggang polinom miring telah memerankan peran yang penting dalam teori gelanggang takkomutatif dan telah banyak peneliti yang bergelut dalam teori gelanggang takkomutatif menginvestigasi bentuk gelanggang tersebut dari berbagai sudut pandang, seperti teori ideal, teori order, teori Galois, dan aljabar homologi.

Berikut diberikan definisi lengkap dari gelanggang polinom miring.

Definisi 1. Misalkan R adalah suatu gelanggang dengan identitas 1, σ adalah suatu endomorfisme dari R, dan δ adalah suatu σ — derivatif, yaitu:

• (i) . δ adalah suatu endomorfisme pada R, dengan R sebagai grup penjumlahan

• (ii) . δ(ab) = σ(a) δ(b) + δ(a)b untuk setiap

• a, b ∈ R.

Gelanggang polinom miring atas R dengan variabel x adalah gelanggang:

R[x;σ, δ] = {f (x)=a_nxⁿ + -L + a0 | ai ∈ R } dengan xa = σ( a ) x + δ( a ), V a ∈ R .

Suatu elemen p dari gelanggang polinom miring R[x; σ, δ] mempunyai bentuk kanonik

r

p = ∑ aixⁱ, r∈Z₊={0,1,l}, ai ∈ R, i= 1,l,r. i=0

Apabila σ=1 atau σ adalah suatu endomorfisme identitas, maka gelanggang polinom miring cukup ditulis R[x; δ]. Untuk hal δ=O, gelanggang polinom miring cukup ditulis R[x; σ]. Sedangkan untuk kasus σ = 1 dan δ=O gelanggang polinom miring cukup ditulis R[x] , yang merupakan gelanggang polinom biasa. Dalam tulisan ini gelanggang R yang digunakan adalah gelanggang yang merupakan daerah integral komutatif dengan elemen satuan yang selanjutnya disimbolkan dengan D.

Contoh 1. Misalkan C adalah himpunan bilangan kompleks. σ suatu endomorfisme pada C yang didefinisikan sebagai σ( a + bi ) = a—bi, untuk setiap a + bi∈C , dan δ=O. Akan ditunjukkan ketidak komutatifan dalam gelanggang polinom miring C [ x ;σ].

[ (2 + 3i) x ][ (4+5i) x ]= (2 + 3i) [ x (4+5i)] x

=(2+3i)[σ(4+5i) x ] x

=(2 + 3i)(4—5i) x² = (23 + 2i) x²

[ (4+5i) x ] [ (2+3i) x ]=(4+5i) [ x (2+3i)] x

=(4+5i) [ σ(2+3i) x ] x

=(4+5i)(2—3i) x² = (23—2i) x ²

• 2.    MASALAH DAN PEMBAHASAN

Masalah yang akan dibahas dalam bagian ini adalah mengidentifikasi bentuk-bentuk ideal dari berbagai bentuk gelanggang polinom miring. Secara mendetail, bentuk-bentuk ideal yang akan diidentifikasi adalah sebagai berikut:

• 1.i deal dari gelanggang polinom miring D[ x; σ];

• 2.i deal prim dari gelanggang polinom miring K [ x; σ];

• 3.i deal σ — prim dari gelanggang polinom miring D[ x; σ ].

Sekadar mengingat kembali, berikut ini disajikan definisi dari ideal dan ideal prim.

Definisi 2. Misalkan R adalah suatu gelanggang. Suatu himpunan bagian I dari R dikatakan suatu ideal kanan dari R jika :

• 1.    (I,+) adalah suatu grup bagian dari (R,+),

• 2.    xr berada dalam I untuk setiap x dalam I dan setiap r dalam R.

Suatu ideal kiri dari R didefinisikan serupa dengan ideal kanan. I dikatakan ideal dari R jika I merupakan ideal kanan dan sekaligus ideal kiri dari R. Selanjutnya suatu ideal P dari R dikatakan ideal prim jika dan hanya jika untuk setiap ideal-ideal A, B dari R implikasi berikut bernilai benar: Jika AB ⊂ P , maka A ⊂ P atau B ⊂ P . Pernyataan terakhir ini ekuivalen dengan: jika ab ∈ P, maka a ∈ P atau b ∈ P.

• 2.1    Ideal dari Gelanggang Polinom Miring R [ x; σ, δ]

Teorema 1. Misalkan D adalah suatu daerah integral komutatif yang bukan merupakan lapangan. Jika σⁿ ≠ 1, untuk semua bilangan asli n dan f (x)D[x;σ] adalah suatu ideal dari D[x;σ], maka f(x) = x.

Bukti:

Misalkan f (x) = fj + flx + l + f_nxⁿ, dengan fi ≠ O untuk suatu i ∈ {1,2, l,n}.

• (i) . Akan tunjukkan bahwa f j = O .

Karena     f (x) ∈ f (x)D[x;σ],     diperoleh

af (x) ∈ f (x) D [ x ;σ], V a ∈ D. Oleh karena itu terdapat b ∈ D sedemikian sehingga af ( x ) = f ( x ) b atau

^a (^fj^{+ f}1^{x + l + f}n^xn) = (^fj^{+ f}1^{x + l + f}n^xn) b.

Dari persamaan ini diperoleh afj = fj b dan afi = fi σ (b). Karena fi ≠ O     diperoleh

a = σⁱ (b), yang mengakibatkan a ≠ b sehingga fj = o.

• (ii) . Sebagai kosekwensi dari (i), diperoleh f (x)=flx + L + fnxⁿ, (i .e. f j = O) .

Selanjutnya akan tunjukkan bahwa fi ≠ O.

Andaikan bahwa       fi = O,      maka

f (x)=f2x² + l + fnxⁿ ∈ f (x)d[x;σ].

Dari sini diperoleh,

^f x)=^fx ⁺ L ⁺fnxn =x ^{σ 1f})X⁺L ^+σ fx

∈^fx)D[^χσ

dengan x ∉ f (x)D[xσ] dan

σ^¹(f2)x + ∙∙∙ +σ"¹(f_n)x^n-1 ∉ f(x)D[x;σ].

Hal ini kontradiksi dengan asumsi bahwa f (x)D[x; σ] adalah ideal prim.

• (iii) . Akan tunjukkan bahwa fi = 0, ∀i >1.

Andaikan terdapat suatu k >1 sedemikian sehingga f k ≠ 0. Misalkan t > 1 adalah bilangan terkecil sedemikian sehingga ft ≠ 0.

Dari persamaan

a (^f1^{x +} L ^{+ f}n^xn) = (^f1^{x +} L ^{+ f}n^xn )^b, pada bagian (i) diperoleh af = fσ( b) dan

af_t = f_t σ (b) . Karena f ≠ 0 dan f_t ≠ 0 , maka

a = σ^{t 1} (a). Hal ini kontradiksi dengan σⁿ ≠ 1 untuk semua bilangan asli n.

• (iv) . Sekarang dipunyai   f (x) = fx . Akan

ditunjukkan bahwa f1 = 1.

Andaikan f1 ≠ 1. Karena D adalah bukan sautu lapangan, maka dapat dipilih suatu b ∈ D sedemikian sehingga

bx ∉ f1 xD[x; σ]=f (x)D[x; σ].

Jelas bahwa

f1 ∉ f (x)D[x;σ]

dan

bx ∉ f (x)D[x; σ]

tetapi f1.bx = fx.σ^-1(b) ∈ f (x)D[xσ].

Hal ini kontradiksi dengan asumsi bahwa f (x)D[ x; σ] adalah suatu ideal prim. Bagian (i) sampai (iv) melengkapi bukti teorema. ■

Lema 1. Misalkan Λ=D[xσ] adalah suatu gelanggang polinom miring dan A adalah ideal dari Λ. A ∩ D = {0} j'ika dan hanya j'ika AK[x;^]0 K[xσ], dalam hal ini K adalah

lapangan pembagian dari D.

Bukti:

• (i) . Pada bagian ini akan ditunjukkan bahwa: jika A ∩ D = {0} , maka AK[x; σ] 0 K[x; σ].

Sudah jelas bahwa AK[xσ] ⊆ K[x;d], jadi tinggal ditunjukkan bahwa AK[xσ] ≠ K[x;d], yaitu terdapat g(x) ∈ K[xσ] sedemikian sehingga g(x) ∉ AK[x; σ]. Pilih g(x) = d ∈ D, d ≠ 0 .

Karena A ∩ D = {0} , maka   d ∉ AK[x; σ]

sehingga g(x) ∉ AK[x; σ].

• (ii) . Pada bagian ini akan ditunjukkan bahwa: jika AK[x; σ] 0 K[x; σ], maka A ∩ D = {0} .

Andaikan A ∩ D ≠ {0} berarti terdapat d ∈ D, d ≠ 0. Ini berarti 1 = dd^¹ ∈ AK[x;σ] yang mengakibatkan AK[x; σ] = K[x; σ] karena AK[x; σ] adalah suatu ideal dalam K[x; σ]. Hal ini kontradiksi dengan AK[x;σ] 0 K[x;ff].«

Teorema 2. Misalkan P adalah ideal prim minimal dari Λ=D[x; σ] dan K adalah lapangan hasil bagi dari D, maka PK[xσ] adalah ideal prim dari K [ x; σ].

Bukti:

• (i) . Akan ditunjukkan bahwa PK [ x σ] ideal.

Misalkan g(x) ∈ PK[x; σ] dan h(x) ∈ K[x; σ]. Untuk membuktikan bahwa PK[x; σ] adalah ideal , maka akan ditunjukkan bahwa h (x) g (x) ∈ PK [ x; σ] dan g (x) h (x) ∈ PK [ x; σ]. Karena          g(x) ∈ PK[x; σ]          berarti

n

g (x) = ∑ ai (x)bi (x) dengan    ai (x) ∈ P dan

i=1

bi (x) ∈ K[x;^]. Karena h (x) ∈ K[x;^] dan K adalah lapangan hasil bagi dari D, maka dapat ditemukan d ∈ D, d ≠ 0 sedemikian sehingga dh(x) ∈ D[xσ]. Selanjutnya, dengan alasan yang sama dapat ditemukan juga e ∈ D, e ≠ 0 sedemikian sehingga

dh (x) ai (x) e^-1 bi (x) = h (x) ai (x) bi (x), sehingga diperoleh

nn

h(x) g (x) = h(x )∑ ai (x)b_i (x) = ∑ dh (x) ai (x) e^-1 b_i (x)

i=1                i=1

Karena dh(x) ∈ D[x; σ], ai (x) ∈ P, P adalah ideal

dari D[x; σ], dan e ¹ bi (x) ∈ K[x; σ], maka dapat disimpulkan bahwa:

n

h (x)g (x) = ∑ dh (x)ai (x) e^-1 bi (x) ∈ PK[x; σ |.

i=1

Pada sisi lain,

g(x)h(x) =

n

∑^a()^{b (}..^hx)=∑a⁽..) ⁽h^x)∈ PK

, karena ai (x) ∈ P dan bi (x)h (x) ∈ K[xσ].

• (ii) . Akan ditunjukkan bahwa PK[x; σ] prim

Untuk menunjukkan hal ini, akan ditunjukkan bahwa jika      g(x)h(x) ∈ PK[x;σ] , maka

g(x)∈ PK[x;σ] atau h(x)∈ PK[x;σ] .

Karena    g(x)h(x) ∈ PK[x;σ] , maka dapat

n

dimisalkan    g(x)h(x) = ∑ Pi (x)ki (x) , dengan

i=1

p_i(x) ∈ P dan k_i (x) ∈ K[x; σ] untuk suatu n bilangan asli. Karena K adalah lapangan hasil bagi dari D, maka untuk setiap i terdapat d_i ∈ D sedemikian sehingga d_ik_i(x) ∈ D[x;σ] . Oleh karena itu, p_i (x)d_ik_i (x) ∈ P karena P adalah ideal prim dari D[x; σ] . Dari sini sudah dapat disimpulkan bahwa terdapat 0 ≠ d ∈ D sedemikian sehingga

d

n

∑ Pt^(x) ^ki^(x)

i=1

∈P.

Sehingga

dg(x)h(x) = d

n

∑ Pi^(x ) ki^(x)

i=1

∈ P.

Selanjutnya, andaikan     g(x) ∉ PK[x;σ] dan

h(x) ∉ PK[x;σ] , maka g(x)∉ P dan h(x) ∉ P . Dengan demikian g(x)h(x) ∉ P , karena P ideal prim. Mengingat P ideal prim, dg(x)h(x) ∈ P , dan g(x)h(x) ∉ P , maka d ∈ P yang berarti bahwa P ∩ D = {0} . Hal ini kontradiksi dengan Lema 1. ■

• 2.2    Ideal σ- prim dari Gelanggang Polinom Miring R[x; σ , δ]

Definisi 3. Misalkan R[x;σ,δ] adalah suatu gelangang polinom miring. Suatu σ- ideal dari R adalah suatu ideal I dari R sedemikian sehingga σ(I) ⊆ I . Suatu σ- ideal prim (atau σ- prim ) adalah suatu σ- ideal murni I dari R sedemikian sehingga jika J, K adalah σ- ideal yang memenuhi JK ⊆ I , maka J ⊆ I atau K ⊆ I . Dalam kasus 0 adalah suatu σ- prim ideal dari R, dikatakan R adalah suatu gelanggang σ- prim .

Teorema 3. Misalkan σ adalah suatu automorfisme dari gelanggang R, dan misalkan I adalah suatu ideal murni dari R sedemikian sehingga σ(I) = I. I

adalah σ- prime jika dan hanya jika untuk sembarang a,c ∈ R - I, terdapat b ∈ R dan t ∈ Z sedemikain sehingga abσⁿ (c) ∉ I .

Bukti:

⇐

Misalkan A, C adalah σ- ideal yang tidak berada dalam ideal I. Pilih elemen-elemen a ∈ A - I dan c ∈ C - I , maka terdapat b ∈ R dan t ∈ Z sedemikian sehingga abσ^t (c) ∉ I .

Kasus 1. Jika t ≥ 0, maka σ^t (c) ∈ C sehingga dari abσ^t (c) ∉ I diperoleh AC ⊄ I .

Kasus 2. Jika t < 0, maka dari abσ^t (c) ∉ I diperoleh σ^-t (a)σ^-t (b)c ∉ σ^-t(I) = I. Dalam kasus ini, σ^-t (a) ∈ A sehingga AC ⊄ I .

Dari kasus 1 dan 2 disimpulkan bahwa I adalah suatu ideal σ- prime .

⇒

Misalkan I adalah σ- prime dan a,c ∈ R - I. Himpunan-himpunan

∞

A = ∑ R_σⁱ (a) r

i=0

dan

∞

C = ∑ Rσj (c)R

j=0

adalah σ- ideal yang tidak berada dalam ideal I, sehingga AC ⊄ I .

Konsekuensinya, σⁱ (a)bσ^j (c) ∉ I untuk suatu i, j ≥ 0, sehingga aσ^-i (b)σ^t-i (c) ∉ I.

Teorema 4. Misalkan M adalah suatu idel maksimal dari D[x; σ] dengan M ∩ D ≠ {0} .

Jika x ∉ M , maka M ∩ D adalah suatu ideal σ- prime.

Bukti:

• (i) . Jelas bahwa M ∩ D adalah suatu ideal

• (ii) . Akan ditunjukkan bahwa M ∩ D adalah σ- ideal dengan jalan menunjukkan bahwa σ(M ∩D) ⊆ M ∩D . Ambil a∈ M ∩D dan andaikan σ(a) ∉ M ∩ D , maka σ(a) ∉ M , karena σ(a) ∈ D . Dengan demikian σ(a) x ∉ M yang berarti xa ∉ M . Kontradiksi dengan M adalah suatu ideal.

• (iii) . Akan ditunjukkan bahwa M ∩ D adalah σ- prime.

Misalkan J dan,K adalah σ- ideal dari D dan JK ⊆ M ∩ D , maka akan ditunjukkan bahwa J ⊆ M ∩ D atau K ⊆ M ∩ D atau sama dengan menunjukkan bahwa jika J ⊄ M ∩ D , maka K ⊆ M ∩ D . Ambil k ∈ K dan pilih j ∈ J tetapi j ∉ M ∩ D . Ini berarti j ∉ M . jk ∈ JK ⊆ M ∩ D , maka jk ∈ M . Karena j ∉ M dan M adalah ideal prim (ideal maksimal pasti merupakan ideal prim), maka k ∈ M . Sehingga diperoleh k ∈ M ∩ D . Hal ini membuktikan bahwa K ⊆ M ∩ D . ■

• 3.    SIMPULAN

Dari paparan di atas dapat ditarik simpulan bahwa:

• 1.    dalam kondisi σⁿ ≠ 1, ideal dari D[x;σ] berbentuk xD[x;σ] ;

• 2.    salah satu bentuk ideal prim dari gelanggang polinom miring K[x; σ] adalah PK[x;σ] , dengan P adalah ideal prim minimal;

• 3.    salah satu bentuk ideal σ- prime dari gelanggang polinom miring D[x; σ] adalah berbentuk M ∩ D dengan M adalah maksimal ideal dari D[x; σ] yang tidak memuat x.

UCAPAN TERIMA KASIH

Terima kasih kepada Prof. Hidetoshi Marubayashi, Tokushima Bunry University, Japan atas masuk-masukan yang telah diberikan.

DAFTAR PUSTAKA

Ore, O. 1933.Theory of Non-Commutative Polynomials. Annals of Mathematics. 34: 480—508.