Sifat Strong Perron-Frobenius Pada Solusi Positif Eventual Sistem Persamaan Differensial Linier Orde Satu

Jurnal Matematika Vol. 4 No. 2, Desember 2014. ISSN: 1693-1394

Sifat Strong Perron-Frobenius Pada Solusi Positif Eventual Sistem Persamaan Differensial Linier Orde Satu

Yulian Sari

FKIP Pendidikan Matematika Universitas Riau Kepulauan

e-mail: [email protected]

Abstrak: Artikel ini membicarakan tentang sifat strong Perron-Frobenius pada solusi positif eventual sistem persamaan differensial linier orde satu. Syarat perlu agar solusi positif eventual sistem persamaan differensial linier orde satu diajukan. Beberapa kriteria tentang matriks eksponensial positif eventual dan matriks positif eventual juga akan digunakan dalam teorema.

Kata kunci: solusi positif eventual, strong Perron-Frobenius, matriks eksponensial.

• 1.    Pendahuluan

Diberikan suatu sistem persamaan diferensial linier orde satu sebagai berikut.

̇(t)=Ax (t), X(0)=X0≥0

dimana A∈ℝn^×n,

sebagai berikut

X∶[0,∞)→ℝn , dan ̇ = Tt

'dx1 dt

d^n

- dt -

(1)

. Solusi sistem (1) diberikan

X(t)=e^Mxo .

(2)

Dalam [3] dinyatakan bahwa sistem (1) dengan x0 ≥0, jikaA adalah matriks eksponensial positif eventual, maka (2) disebut sebagai solusi positif eventual. Solusi tersebut erat kaitannya dengan A adalah matriks eksponensial positif eventual. Syarat cukup untuk solusi positif eventual juga telah dikemukakan dalam [3]. Namun kajian tentang solusi positif eventual belum banyak dibahas oleh peneliti.

Topik tentang matriks eksponensial positif eventual telah dibahas di berbagai literatur. Dalam [1,2] dikemukakan ekuivalensi beberapa sifat yang terkait dengan matriks eksponensial positif eventual. Sifat lainnya yang juga dikemukakan diantaranya yaitu sifat strong Perron-Frobenius pada matriks eksponensial positif eventual. Oleh karena banyaknya penggunaan sifat strong Perron-Frobenius pada suatu matriks

tertentu, artikel ini akan memaparkan suatu syarat perlu agar sistem (1) dengan solusi positif eventual. Dalam hal ini sifat strong Perron-Frobenius diperlukan.

• 2.    Notasi dan Definisi

Simbol R^hxh menyatakan himpunan matriks riil berukuran n × n. Simbol R” menyatakan himpunan vektor riil dengan n komponen. Himpunan semua nilai eigen dari A berukuran × n n disebut sebagai spektrum dari A yang dinotasikan dengan σ (A). Radius spektral dari A, dinotasikan dengan p (A), didefinisikan sebagai p (A') = max{∣A∣R ∈}σ(A ). Suatu nilai eigen λ dari A dikatakan dominan jika ∣Λ∣ = p(4). Absis spektral dari A, ditulis λ(A) didefinisikan sebagai λ(A) = max{Re(λ)∣λ ∈ σ(A)} dimana Re(λ) menyatakan bagian riil dari λ.

Definisi 2.1. Misalkan A ∈ Rⁿ×ⁿ. Matriks A dikatakan

• 1.    positif eventual, dinotasikan dengan A >_v 0, jika terdapat bilangan bulat positif k₀ sedemikian sehingga A^k > 0 untuk setiap k ≥ k0. Bilangan bulat positif terkecil k0 = k0(A) disebut sebagai indeks pangkat dari A.

  2.

  
  

positif eksponensial, jika untuk setiap t > 0,

3.

e^tA

= V

∑ k\

k=0

> 0.

eksponensial positif eventual, jika terdapat t₀ ∈ [0, ∞) sedemikian sehingga e^tA

>0

untuk setiap t ≥t₀.

Definisi 2.2. [1] Suatu matriks A ∈ Rⁿⁿⁿ dikatakan memiliki:

• 1.    sifat Perron-Frobenius, jika nilai eigen dominannya adalah positif dan vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen dominannya adalah nonnegatif

• 2.    sifat strong Perron-Frobenius, jika nilai eigen dominan positifnya berjumlah satu buah dan vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen dominannya adalah positif.

• 3.    Hasil dan Pembahasan

Berikut akan dikemukakan teorema yang mendasari hasil utama dalam artikel ini.

Teorema 3.1. [2] Misalkan A ∈ Rⁿⁿⁿ. Pernyataan berikut ekivalen:

• i) . Matriks A dan A memiliki sifat strong Perron-Frobenius.

• ii) . A merupakan matriks positif eventual.

Teorema 3.2 [1] Misalkan A ∈ F^xn. Pernyataan berikut ekivalen:

• i) . A + a/ merupakan matriks positif eventual untuk suatu a≥ 0.

• ii) . A merupakan matriks eksponensial positif eventual.

Teorema 3.3. [3] Untuk sistem x(t) = Ax( t) dengan syarat awal x(0) = x₀ , jika A + al adalah matriks positif eventual untuk suatu a ≥ 0, maka solusi x( t) sistem tersebut adalah positif eventual untuk setiap x₀ > 0.

Bukti

Misalkan A + al adalah matriks positif eventual untuk suatu a ≥ 0, maka berdasarkan teorema 3.3, matriks A adalah matriks eksponensial positif eventual. Akibatnya terdapat 10 ∈ [0, ∞) sedemikian sehingga e^tA > 0 untuk setiap ≥ ≥ 1₀. Karena x0 > 0, maka

x(t) = e ^tA x₀ > 0, ∀ t ≥ t₀.

Dengan demikian, solusi sistem x(t) = Ax( t) dengan syarat awal x(0) = x ₀, adalah positif eventual.                                                            □

Akibat 3.4. Untuk sistem x( t) = A x( t) dengan syarat awal x(0) = x ₀. Jika solusi sistem tersebut positif eventual, maka terdapat a ≥ 0sedemikian sehingga A + aI dan A^T + aI memiliki sifat Strong Perron Frobenius.

Bukti. Misalkan x(t) = Ax( t) adalah sistem dengan solusi positif eventual. Hal tersebut berarti bahwa sistem x(t) = Ax( t) dengan A adalah matriks eksponensial positif eventual dan dengan syarat awal x(0) = x 0 > 0. Menurut Teorema 3.3, karena A adalah matriks eksponensial positif eventual, maka A + aI adalah matriks positif eventual untuk suatu a ≥ 0. Perhatikan A + a/ adalah matriks positif eventual. Akan dibuktikan bahwa matriks A + a/ memiliki sifat strong Perron-Frobenius. Karena A + a/ matriks positif eventual, maka ada k₀ > 0 sedemikian sehingga (A + af^k > 0,∀ k ≥ kθ. Misalkan (A + a/)^k > 0, maka matriks (A + a/)^k memiliki nilai eigen dominan positif, sebutlah λ₁, dan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λι adalah positif, sebutlah x₁ > 0. Karena λι adalah nilai eigen dari (A + af^k, maka λ₁^k > 0 adalah nilai eigen dari (A + a/) dengan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λι^k adalah xi. Karena hal tersebut terjadi untuk setiap k ≥ k₀, maka (  +  ) memiliki sifat strong Perron-Frobenius.

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa .A ^τ + a// juga memiliki sifat strong Perron-Frobenius. Karena (  +  ) adalah matriks positif eventual, maka matriks (  +  )

juga positif eventual. Akibatnya, ada k0 > 0 sedemikian sehingga ((A + a/)¹)^k > 0 untuk setiap k ≥ k₀. Karena ((A + a) f / > 0, maka matriks ((A + a/)¹)^k memiliki nilai eigen dominan positif, sebutlah 22, dan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ₂ adalah positif, sebutlah x₂ > 0. Karena A₂ adalah nilai eigen dari ((A + a/)¹)^k, maka λ₂^k > 0 adalah nilai eigen dari (A + a))¹ dengan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ₂^k adalah x₂. Karena ini terjadi untuk setiap k ≥ k₀, maka (A + a/)¹ memiliki sifat strong Perron-Frobenius. Hal tersebut berarti A ¹ + a/ memiliki sifat strong Perron-Frobenius.

Contoh berikut mengilustrasikan syarat perlu agar solusi sistem differensial linier orde satu adalah matriks A + aI dan AT + al memiliki sifat Strong Perron Frobenius untuk suatu a ≥ 0.

Contoh

• 3.5.    Diberikan sistem persamaan diferensial linier x(t) = Ax(t) dengan

  0

  
  

  1

  
  

  0

  
  

  A =

  
  

  Γ 0   101

  ∣3  03

  L0   20.1

  
  

  0

  
  

  2

  
  

  0

  
  

  ¹

  dan syarat awal x ₀ = x(0) = 1. Akan ditunjukan bahwa solusi

  
  

  sistem tersebut adalah positif eventual. Perhatikan bahwa matriks + adalah sebagai berikut

  
  

  untuk a = 1, diperoleh

  
  

  A + a/ =

  
  

  010  100110

  ∣3  0  3∣ + 1∣0  1  0∣ = ∣3 13

  020  001021

  
  

  0

  
  

  1

  
  

  0

  
  

  1

  
  

  0

  
  

  0

  
  

  1

  
  

  1

  
  

  0

  
  

  0

  
  

  2

  
  

  0

  
  

  0

  
  

  0

  
  

  1

  
  

  0

  
  

  2

  
  

  1

  
  

Selanjutnya akan dicari bilangan bulat positif k₀ sedemikian sehingga (A + a/)^k > 0, V k ≥ k₀. Perhatikan matriks berikut.

\⁴    23]

(A + a∕)² = ∣6  106

L6    47.1

Karena entri pada matriks A + al telah bernilai posit f untuk k = 2, sehingga matriks A + al merupakan matriks positif eventual dengan k₀ = 2 sedemikian sehingga (A + a/)^k > 0, V k≥k 0. Dengan demikian matriks A + a/ adalah matriks positif eventual. Berdasarkan Teorema 3.3, maka solusi sistem pada Contoh 3.5 mestilah positif eventual. Selanjutnya akan diperiksa sifat strong Perron-Frobenius pada matriks A + aI . Perhatikan bahwa untuk a = 1, maka dengan mudah diperoleh σ(A + a/) = {A_l1, A_l2, A_l3} = {4,1, -2}. Nilai eigen dominan dari A + a/ adalah A₁₁ = 4 dan vektor r M

2

eigen yang berkaitan dengan A₁₁ adalah x₁₁ = 3 . Karena komponen vektor x₁₁ positif

-1-

maka matriks A + a/ memiliki sifat strong Perron Frobenius. Hal tersebut juga berlaku

T

untuk matriks A+ al. Perhatikan bahwa untuk a=1,

A^τ +  =

30

030  100130

[1  0  2]+1[0  1  0]=[1  12

030  001031

maka dengan mudah diperoleh σ(A^τ + al)={^2 , ⅛ , ⅛ } ={4,1,-2}. Nilai eigen

dominan dari A+ al adalah λ2=a+2 dan vektor eigen yang berkaitan dengan λ2

adalah ¾₁

=[¹1₁]

T

Karena komponen vektor ¾ positif maka matriks A₊ al memiliki

sifat strong Perron Frobenius.

Dengan menggunakan cara yang sedikit berbeda dari Contoh 3.5, berikut diilustrasikan nilai a secara umum pada Teorema 3.4 untuk sistem yang diberikan.

Contoh 3.6. Diberikan sistem persamaan differensial ̇(t)=Ax (t) dengan =

^[

-1

-3

0

-1

-1

-2

_-

_-

0

3

1

^]

dan denga syarat awal x(t)=

[¹1₁].

Selanjutnya akan diperiksa

keberadaan sifat strong Perron-Frobenius pada sistem tersebut. Perhatikan bahwa

untuk setiap a≥0, A+ al bukan matriks positif eventual untuk setiap ^o ∈ℤ ⁺ sehingga (A+ al)^k dengan k≥ ^o . Selanjutnya dipilih matriks nonsingular P dan Q,

yaitu							r 1 -	1 -	11
		=[-	1	-1	132]			6	⎤
	P		3	0		dan Q=	⎢- - 3	0	1 3	,
			2	1			1	1	1
							⎣   6	6	6⎦
sehingga diperoleh	⎡2 3	e-t+	1 6e	2t+	1-6e	4t    e-4 t 6e	-1e2 t -6e	1 6	e2t	1 -3e	-t+1e-4 ⎤ +6e   ⎥
e At =edQ =		1 2e	-4t	1 -2	e2 t	1e2t+1e-4t 2e +2e			1e-4t . 2e		-1e2t     ⎥ -2e      ⎥
⎢⎢	⎣13	e2t-	2 3e	-t+	1 -3e	.                      „ 4t    e-4 t 3e	-1e2t -3e	1 3	e-	+1e	2t+1e-4t⎥ +3e   ⎦

dengan e ^d adalah matriks yang similar dengan e At . Matriks di atas jelas bukan matriks eksponensial positif eventual untuk setiap t≥ ^O dengan t₀∈[0,∞] sehingga etA ≤0.

Solusi sistem tersebut diberikan sebagai berikut.

()=e 0

^{2       1}

3^{e  +}6^e

¹

2^e

⎢1

⎣3^e

1

_-

e +¹e +¹e 362

_-

²₃e

	1	1	1	1	1
+1e	1e	e	e -	e	+e
6	6	6	6	3	6
1	1	1	1		1
1e	1e +	1e	e	-4t	1e
2e	2e	2e	2e		2e
1	1	1	1	1	1
+1e	1e	e	e +	e	+e
3	3	3	3	3	3

-4t

-4t

[¹1₁]

-4t

3

₂e

_-

¹

2^e

․

⎢^{1         1}

_⎣3e +₃e +e

Selanjutnya akan diperiksa sifat Strong Peron Frobenius dari matriks + dan + untuk suatu ≥0. Perhatikan nilai det[ ₁ -(  +  )] untuk setiap nilai .

det[AJ — (4 + cιl= = (—a + λι + 1)(—2a + 2⅛ — 2 αΛι + λι² + a² — 2),

sehingga diperoleh ( +  )={  ,   ,   }={ +√3-1,  -√3-1,  -1}.

Nilai eigen dominan dari + adalah ₁ =  +√3-1 dan vektor eigen yang

1

2

berkaitan dengan ₁ untuk setiap nilai ≥0 adalah ₁ =

√3 2

. Karena ₁ memuat

1⎦

komponen vektor negatif, maka jelas bahwa matriks + tidak memiliki sifat strong Perron Frobenius. Hal tersebut juga berlaku untuk matriks + . Perhatikan bahwa untuk setiap nilai ≥0 berlaku

det 0^2/ — .4 + a//1 — λ2³ + 3^22 — 3αΛ22 + 30.222 — 6 ci2— — 6λ — u³ + 3 a+ + 6 cι — 8,

sehingga diperoleh (   +  )={   ,   ,   }={ +2,  -1,  -4}. Nilai eigen

dominan dari + adalah ₂ =  +2 dan vektor eigen yang berkaitan dengan ₂

untuk setiap nilai ≥0 adalah    = [-1]. Karena     memuat komponen vektor

negatif, maka matriks + tidak memiliki sifat strong Perron Frobenius.

• 4.    Kesimpulan dan Saran

Berdasarkan uraian dari pembahasan, syarat perlu agar solusi sistem x(t) = Ax(t) positif eventual adalah matriks A + al dan A + al memiliki sifat Strong Perron-Frobenius. Topik-topik kajian solusi positif eventual untuk sistem persamaan differensial linier masih merupakan hal baru. Pengembangan tentang kajian ini masih sangat diperlukan. Selain itu, solusi positif eventual untuk sistem persamaan yang bukan sistem persamaan differensial linier orde satu bisa menjadi topik yang dapat dikembangkan selanjutnya.

• 5.    Ucapan Terima Kasih

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Program Studi Matematika Universitas Udayana dan Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Riau Kepulauan atas kerjasama dan dukungannya sehingga hasil penelitian ini dapat dipublikasikan.

Daftar Pustaka

• [1]    Noutsos, D. and M. J. Tsatsomeros. 2008. Reachability and Holdability of Nonnegatif States. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 30:700-712.

• [2]    Noutsos, D. 2006. On Perron-Frobenius Property of Matrices Having Some Negative Entries. Linear Algebra and Its Applications 412, p.132-153.

• [3]    Sari, Yulian. Muhafzan. 2011. Solusi Positif Eventual Sistem Persamaan Differensial Linier Homogen Orde Satu. Prosiding, Seminar Nasional Matematika yang diselenggarakan oleh FMIPA Unand, tanggal 21 Juni 2011. Padang: Universitas Andalas.

69