E-Jurnal Matematika, Vol. 7 (1), Januari 2018, pp.1-4

DOI: https://doi.org/10.24843/MTK.2018.v07.i01.p176

ISSN: 2303-1751

ANALISIS KONVERGENSI METODE BEDA HINGGA DALAM MENGHAMPIRI PERSAMAAN DIFUSI

F. Muhammad Zain1*, M. Garda Khadafi2, P. H. Gunawan3

1Program Studi Ilmu Komputasi, Universitas Telkom [Email: [email protected]] 2Program Studi Ilmu Komputasi, Universitas Telkom [Email: [email protected]]

3Program Studi Ilmu Komputasi, Universitas Telkom [Email: [email protected]]

  • * Corresponding Author

ABSTRACT

The diffusion equation or known as heat equation is a parabolic and linear type of partial differential equation. One of the numerical method to approximate the solution of diffusion equations is Finite Difference Method (FDM). In this study, the analysis of numerical convergence of FDM to the solution of diffusion equation is discussed. The analytical solution of diffusion equation is given by the separation of variables approach. Here, the result show the convergence of rate the numerical method is approximately approach 2. This result is in a good agreement with the spatial error from Taylor expansion of spatial second derivative.

Keywords: convergence, finite difference method, diffusion equation, discrete.

  • 1    PENDAHULUAN

Persamaan difusi adalah persamaan diferensial parsial linier tipe parabolik yang umumnya digunakan untuk merepresentasikan perubahan konsentrasi dari tinggi menjadi rendah Laili (2014) seiring dengan berjalannya waktu. Persamaan difusi satu dimensi pada domain [0, L] dapat dituliskan sebagai masalah nilai awal dan batas seperti berikut ini:

U^ = μ 3U^, x 2 (0, L)

U(0, t) = U(L, t)= a, t > 0,

U(x,0)= f (x), x 2 [0,L],

dengan U (x, t) merupakan besar konsentrasi pada waktu t dan spasial x, koefisein difusi dinotasikan dengan μ dan f (x) adalah fungsi awal sebaran konsentrasi pada domain.

Salah satu metode numerik untuk mendekati solusi (1 - 3) adalah Metode Beda Hingga (MBH). Metode ini merupakan metode yang

sangat mudah dan sederhana untuk menghampiri persamaan-persamaan diferensial linier. Metode ini secara langsung menghampiri turunan sesuai dengan orde turunan dari expansi deret Taylor (lihat pustaka Thomas (2013); Gulsu, Mustafa dan Sezer (2006) untuk lebih detail).

Pada penelitian ini, analisis konvergensi secara numerik dari solusi MBH untuk mendekati solusi persamaan difusi (1 - 3) akan dibahas. Konvergensi solusi hampiran MBH a-kan diperlihatkan dari perilaku error atau galat yang didapat. Untuk mendapakan galat numerik, solusi numerik akan dibandingkan dengan solusi analitik yang dapat dicari menggunakan sparasi variabel. Detail solusi analitik menggunakan sparasi variabel dapat dilihat pada pustaka Farlow (1993).

  • 2    METODE NUMERIK

Berikut akan dibahas mengenai MBH dan analisis konvergensinya. Pada bab ini, dimulai dengan membahas diskritisasi MBH sam-

pai bentuk diskrit hampiran solusi (1 - 3) secara eskplisit. Selanjutnya analisis konvergensi titik demi titik juga dibahas untuk mendukung hasil analisis konvergensi secara numerik.

  • 2.1    Metode Beda Hingga

Berikut akan dibahas mengenai bentuk diskrit dari persamaan panas dengan menggunakan metode beda hingga skema eksplisit. Diberikan domain spasial W = [0 : L] dan domain waktu [0 : T]. Selanjutnya tahap pertama, titik-titik diskrit dari seluruh domain spasial dikelompokkan dalam himpunan M = {0,1, ∙∙∙ ,M}, yaitu membagi domain W menjadi M buah partisi dengan M 2 Z +.

Tahap kedua, titik-titik diskrit domain waktu didefinisikan sebagai T = {0,1,∙∙∙ ,Tn} dengan Tn 2 Z + adalah banyaknya partisi waktu. Ilustrasi mengenai titik-titik diskrit spasial dan waktu dapat dilihat pada Gambar 1. Sehingga, pasangan titik diskrit/ grid (xi, tn) mewakili titik spasial ke-i dan di waktu ke-n.

Gambar 1. Grid atau jaring titik-titik diskrit dengan langkah waktu ∆t dan spasial ∆x seragam.

Definisi dari notasi lain yang dibentuk oleh tiap grid diberikan seperti di bawah ini:

xi = i x ∆x,  i 2 M,  ∆x = —,

T

tn = n x ∆t, n 2 T, ∆t = —

,             ,            Tn

Solusi dari persamaan (1) secara explisit menggunakan metode beda hingga untuk tiap diskrit waktu dan spasial U (xi, tn) berupa: Recktenwald (2001)

Un+1 = (1 - 2 r )Un + r (Un+l + U—1),

i 2 ^M — {0, M}, n 2 T — {0} (4)

dengan r = μ∆t /∆x2. Skema (4) memiliki syarat kestabilan, yaitu akan stabil jika memenuhi r ≤ 1/2, dan galat/ error O(∆t, ∆x2) yang diperoleh dari deret Taylor, Yuste, Santos B dan Acedo (2005).

  • 2.2    Analisis Konvergensi

Berikut akan dibahas mengenai analisis konvergensi solusi numberik MBH terhadap solusi persamaan difusi (1).

Lemma 2.1. Solusi persamaan beda hingga (4) dengan orde O(∆t, ∆x2) konvergen titik demi titik (pointwise convergence) ke solusi persamaan difusi (1) sebagaimana lim ∆x, ∆t ! 0.

BUKTI. Dimisalkan solusi persamaan difusi (1) dan hampiran MBH (4) dengan kestabilan r ≤ 1/2 pada titik grid (xi, tn) dinotasikan dengan Yin dan Uin secara berurutan. Sehingga galat yang didapat pada titik grid (xi, tn) ditulis sebagai berikut:

Zn = Y n — Un.          (5)

Selanjutnya, subsitusikan (5) ke (1), didapat

Zn+1 =(1 — 2 r) Zn + r (Zi+1 + Zn-1) +O (∆t, ∆x2).

Menggunakan sifat ketaksamaan segitiga, se-

hingga dapat ditulis ulang menjadi,

|zn+1∣ ≤ (1 -2r)∣Zn| + ∏Z⅞∣∣ + r|Zn-1∣ + ∣ O (∆ t, ∆x2) ∣ .

Dengan mengambil jn = supi2m{∣Zn∣}, maka didapatkan,

jn+1 ≤ jn + ∣o(∆t, ∆x2)∣, ≤ jn-1 + 2∣O(∆t,∆x2)∣ ≤ jn-2 + 3∣O(∆t,∆x2)∣,

≤ j0 + (n + 1)∣O(∆t, ∆x2)∣ ≤ (n + 1)∣O(∆t,∆x2)∣,

dengan j0 = 0 untuk galat pada kondisi awal. Akhirnya dengan mengambil lim ∆x, ∆t ! 0, maka didapatkan jn+1 ≤ 0 mengakibatkan Y n+1 = Uf1+1∙ Terbukti solusi hampiran (4) pointwise convergence ke solusi persamaan

difusi (1).

  • 3    HASIL DAN PEMBAHASAN

Untuk melihat konvergensi MBH (4) secara numerik, maka solusi analitik dan ukuran galat perlu diberikan. Solusi analitik dari Persamaan (1) menggunakan separasi variabel Hancock (2006), diberikan sebagai berikut

Y(x, t) = L Ak sin ✓ kpx) e( L) μt, (6) k =1       L l J

dengan nilai awal pada saat t = 0,

f (x )=£ Ak sin ✓ kL ) ,


(7)


dengan Ak adalah konstanta ke-k.

Selain itu pada makalah ini, performansi dari laju konvergensi dilihat dari galat numerik yang didapatkan. Pengukur galat yang di-

gunakan adalah L1-diskrit norm error, yaitu

∣∣Galat∣∣L 1(W)= L ∣Yn — Uf∣∆x.    (8)

i EM

Karena besarnya galat sangat bergantung pada nilai ∆t dan ∆x maka terdapat 2 kondisi ketika galat dihitung, yaitu pada setiap nilai ∆t maka nilai pada ∆x berupa konstan, begi-tupun sebaliknya.

Pada analisis ini digunakan sembarang jangkauan pada Tn yang merupakan banyaknya partisi waktu dan sembarang nilai M yang merupakan banyaknya partisi spasial. Selanjutnya laju konvergensi metode numerik dapat dihitung sebagai berikut:

✓ ∣∣ Galat2∣∣) = ✓ ∆x2 ^t

sehingga,

log (∣∣ Galat21∣∕∣∣ Galat 11∣) t ----                          / 't \                .

log (∆x2∕∆x 1)

Simulasi numerik dalam penelitian ini menggunakan parameter-parameter berikut ini:

f (x ) = sin(p x),  a = 0, μ = 1,

L = 1 T = 1.

Tabel 1. Galat numerik untuk beberapa nilai ∆x berbeda.

No

∆x

∣∣ Galat ∣∣ L 1(w)

t

1

0.02

2.07 × 10-11

-

2

0.01

5.16 × 10-12

2.0001

3

0.005

1.29 × 10-12

2.0025

4

0.0025

3.20 × 10-13

2.0105

5

0.00125

7.76 × 10-14

2.0427

6

0.000625

1.71 × 10-14

2.1851


Disini, langkah waktu yang digunakan adalah langkah tetap ∆t = 1 × 10-8 sehingga kondisi kestabilan r ≤ 1∕2 selalu terpenuhi untuk setiap ∆x yang dipilih sesuai dengan Tabel 1. Hasil galat numerik yang dihasilk-

an oleh MBH dalam menghampiri persamaan difusi (1) dapat dilihat pada Tabel 1.

Berdasarkan data pada Tabel 1, terlihat galatnya terus menurun dan cenderung linier seiring dengan ∆x ! 0. Selain itu, laju konvergensi t ≈ 2 untuk ∆x ! 0 yang sesuai dengan teori galat deret Taylor O (∆t, ∆x2) yaitu orde 2 spasial.

Gambar 2. Nilai ||Galat||L i(W) terhadap naiknya nilai M .

Selain itu, Gambar 2 menunjukkan semakin meningkatnya jumlah titik diskritisasi M, maka galat yang dihasilakan semakin kecil. Oleh karenanya, hal ini menunjukkan bahawa metode beda hingga untuk persamaan difusi konvergen terhadap solusi analitik persamaan difusi.

Gulsu, Mustafa dan Sezer, M. (2006). A taylor polynomial approach for solving differential-difference equations. Journal of Computational and Applied Mathematics, 186(2):349–364.

Hancock, M. J. (2006). Page 1 the 1-d heat equation.

Laili, A. K. (2014). Keakuratan solusi persamaan difusi menggunakan skema Crank-Nicolson. PhD thesis, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim.

Recktenwald, G. W. (2001). Finite-difference approximations to the head equation.

Thomas, J. W. (2013). Numerical partial differential equations: finite difference methods, volume 22. Springer Science & Business Media.

Yuste, Santos B dan Acedo, L. (2005). An explicit finite difference method and a new von neumann-type stability analysis for fractional diffusion equations. SIAM Journal on Numerical Analysis, 42(5):1862– 1874.

  • 4    KESIMPULAN

Analisis konvergensi secara numerik dari solusi MBH untuk mendekati solusi persamaan difusi didapat galat numerik terus menurun dan cenderung linier seiring dengan ∆x ! 0. Selain itu, laju konvergensi t ≈ 2 untuk ∆x ! 0 yang sesuai dengan teori galat deret Taylor O(∆t, ∆x2) yaitu orde 2 spasial. Hal ini menunjukkan bahwa solusi numerik metode beda hingga konvergen terhadap solusi analitik persamaan difusi.

Daftar Pustaka

Farlow, S. J. (1993). Partial differential equations for scientists and engineers. Courier Corporation.

4