β-Dual Dari Ruang Barisan (N̅,Δλ) ∞, (N̅,Δλ), Dan (N̅,Δλ)O

Jurnal Matematika Vol. 11, No.2, Desember 2021, pp. 119-124

Article DOI: 10.24843/JMAT.2021.v11.i02.p141

ISSN: 1693-1394

β-Dual Dari Ruang Barisan (⅛, ∆λ)∞, (N, ∆λ) Dan (N,∆λ)o

Salwa

Universitas Mataram e-mail: [email protected]

Qurratul Aini Universitas Mataram e-mail: [email protected]

Ni Wayan Switrayni Universitas Mataram e-mail: [email protected]

Abstract: Sequence spaces is one of interesting topic of analysis research. Some of that are convergent and bounded sequence. In this paper we define some releated BK spaces of (N,∆λ‰, (N,∆λ) dan (N, ∆X)₀ and some characteristics releated to them. Moreover we determine their β-dual.

Keywords: Sequence spaces, BK spaces, β-dual

Abstrak: Ruang barisan merupakan salah satu topik dalam penelitian analisis.Diantaranya adalah barisan convergen dan barisan terbatas. Pada paper ini dibahas tentang ruang BK (N,∆λ)_m, (N,∆λ) dan (N,∆λ)₀ serta beberapa sifat yang berhubungan dengannya. Selanjutnya ditentukan β-dual dari ruang barisan tersebut.

Kata Kunci: Ruang barisan, Ruang BK, β-dual.

• 1.    Pendahuluan

Ruang barisan merupakan salah satu topik kajian dalam bidang analisis yang membahas tentang barisan. Barisan merupakan fungsi pada bilangan asli. Jika range dari barisan tersebut merupakan himpunan semua bilangan real maka disebut barisan bilangan real, Beberapa ruang barisan lain yang telah ditemukan oleh matematikawan bidang minat

analisis diantaranya adalah ruang barisan terbatas, ruang barisan konvergen, ruang BK dan lain-lain.

Selanjutnya para matematikawan seperti M. Mursaleen dan A.K. Noman (2010) melakukan penelitian lebih lanjut mengenai ruang barisan A -konvergen dan terbatas, sedangkan E. Malkowsky and V. Rakocevic (2007) melakukan penelitian mengenai ruang barisan yang terboboti. Oleh karena itu penulis ingin melakukan penelitian tentang J-dual dari ruang barisan (N, ∆λ)∞, (N, ∆λ) dan (N, ∆λ)₀ dan beberapa sifat yang terkait dengan ruang barisan tersebut jika dilihat dari ruang multiplier, serta menyajikannya dalam tulisan ini.

Berdasarkan latar belakang tersebut di atas, adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui bagaimana sifat-sifat ruang barisan (N,∆λ)∞, (N,∆λ) dan (N,∆λ)₀, dan bagaimana J-dual dari ruang barisan tersebut jika dilihat dari ruang multiplier.

• 2.    Metode Penelitian

Metode penelitian yang dilakukan adalah studi literatur, yaitu mengumpulkuan dan mempelajari matri-materi yang diambil dari buku-buku dan jurnal-jurnal analisis yang memuat tentang ruang barisan λ-konvergen dan terbatas serta yang memuat tentang ruang dual. Selanjutnya berdasarkan definisi, teorema serta lema yang ada pada jurnal-jurnal tersebut akan dikonstruksi teorema dan sifat-sifat yang berkaitan dengan ruang barisan (N, ∆λ)∞^, (N, ∆λ} ^dan (N, ∆λ)₀ ^serta /^-dual nya-

Setelah teorema dan sifat-sifat dari ruang barisan (N,∆λ)∞, (N,∆λ) dan (N,∆λ)₀ serta J-dual nya dibuktikan, selanjutnya akan diambil kesimpulan dari hasil penelitian tersebut.

• 3.    Hasil dan Pembahasan
  
  3.1    Ruang Barisan (N,∆λ‰, (N,∆λ~) dan (N,∆λ)₀

Diketahui barisan bilangan real positif A = (λ_k)k>ι yaitu barisan yang setiap sukunya bernilai positif. Selanjutnya diberikan

Λ_n(x) = ~∑k=ι(λk — A^_₁⁾x^ ■    (ⁿEN)                                  ⁽¹⁾

An

untuk A₀ = 0 dan X₀ = 0 serta barisan Λ(χ) = (Λ_n(x)) didefinisikan matriks takhingga Λ = (λ_nfc)_n⅛>₁ dengan

_λ -f ^Ank = j

^-^- ; (0 < k < n) λ_n

.     0 ; (k > n)

untuk setiap n, k ∈ N. Dapat diketahui bahwa matriks takhingga Λ adalah matriks segitiga. (M. Mursaleen dan A.K. Noman :2010)

Definisi 3.1. Diberikan matriks Λ = (λ_n⅛)_nfc>₁ yang selanjutnya didefinisikan ruang barisan sebagai berikut

(N,∆λ)o = (coK = {x∈ω: Λ(x) ∈ co^}

(N,∆λ) = (c)_λ = {x ∈ ω: Λ(x) ∈ c} ^dan

(N,∆λ)∞ = QJλ = ^{x ∈ ω: Λ(x) ∈ Zj

dimana c₀, c dan Z∞ berturut-turut adalah ruang barisan yang konvergen ke nol, ruang barisan konvergen dan ruang barisan terbatas.

Selanjutnya diberikan beberapa teorema yang berkaitan dengan ruang barisan (n ∆λ)∞∙

(N,∆λ) ^dan (N,∆λ)o

Teorema 3.2. (N,∆λ)o ⊆ (N,∆λ) ⊆ (N,∆λ)∞.

Bukti: Diambil sebarang χ ∈ (n, ∆λ)_o diperoleh (Λ_n(x))    ∈ c_o. Akibatnya x ∈ (N,∆λ)

jadi (N,∆λ)_o ⊆ (N,∆λ) . Selanjutnya diambil sebarang x ∈ (N,∆λ) (Λn(x))n>₁∈C ' Akiba'nya Λn(x) =7-∑n≈₁(Λ_t-λ_t.₁)x_t konvergen ^n

diperoleh katakan

konvergen ke

Dipilih £ = 1 akibatnya

• ^u.    Sehingga_iIim ∙¹- ∑n=ι(Λ_t-Λ_t.ι)x, =«'

∣T-∑n=ι⅛ - Λ_t-ι)x_l - u| < ¹ ∙ sed^an^gkan ∣∙_i⅛ι⅛ - Λ₁.1)X₁ - u| < ¹ + |u|. ^λ-                                                ^λ-

untuk setiap n ≥ n_o. Akibatnya x ∈ (N,∆λ)∞. ■

Definisi 3.3. Ruang Banach X ⊂ ω disebut ruang BKjika untuk setiap n ∈ N, pemetaan koordinat P_n: X → R dengan P_n(X) = x_n kontinu. (E. Malkowsky and E. Savas :2004)

Teorema 3.4. Diberikan X ruang linear, Y ruang Banach dan T:X → Y operator linear yang surjektf maka X merupakan ruang Banach terhadap ∣∣u∣_x = ∣∣T(u)Hy∙ untuk setiap u ∈ X. (E. Malkowsky and E. Savas :2004)

Teorema 3.5. Diberikan B matriks segitiga dan X ruang BK maka X_b merupakan ruang

BK terhadap ∣∣u∣_y = ∣∣5(u)∣∣∙ (E∙ Malkowsky and E. Savas :2004) ^λ B

Teorema 3.6. Ruang barisan (N, ∆λ)∞ , (N, ∆λ) dan (N, ∆λ)₀ merupakan ruang BK terhadap norma

∣^X∣(i_∞)_Λ = ^supnl^An^(x)l = ^swpn |^ ^^(λk — λk-i)Xk j: ^- ∈ ^N|.

Bukti:

• a.    Karena [∞ ruang BK dan menurut Teorema 3.5 diperoleh (N,∆λ‰ = ([∞)_λ merupakan ruang BK.

• b.    Untuk menunjukkan (N,∆λ) ruang Banach maka diambil sebarang _x ∈ (n ∆λ) dengan χ = (χ_k) maka terdapat ^χ(m)^ ∈ (N ∆λ) akibatnya berlaku

  -U

  Y ∑(λ_k-λ_k-X^m) ^λn^Γl

  
  
  
  

  λ;⅛₁-^λ_l-)^χ₁|^:”∈^N|

  
  

ε

= sup{∖Λ_n(χM)-Λ_n(χ)[.n∈N}≤3

Karena (±∑ⁿ≡ι(λ_t-λ_t,ι)x'^m)) """e'gen akibatnya (⅛ι⅛ - λ₁₁,ι)xH

A_n                                                       ^χA_n

merupakan barisan Cauchy. Oleh karena itu berlaku

∣A_n(x) - A₁(x)∣ ≤ ε

Jadi (A_n(x)) merupakan barisan Cauchy di R. Akibatnya (A_n(x)) ∈ c atau

Selanjutnya diambil sebarang ^χ(m)) ∈ (Nj ∆λ) konvergen ke x atau ii_m χ(m) = χ.

m→∞

Oleh karena itu

lim P_k(x⁽ⁿ⁾) = Xk= PkW n→∞

Jadi pemetaan koordinatnya kontinu.

• c.    Bukti yang serupa untuk menunjukkan (N, ∆λ)₀ merupakan ruang BK. ■

Definisi 3.7. Ruang BK X dikatakan mempunyai sifat AK, jika φ ⊂ X dan setiap barisan x = (χ_k) ∈ X dapat dinyatakan secara tunggal dengan _x = ∑∞=_ιxne(n).

(E. Malkowsky and E. Savas :2004)

Teorema 3.8. jika lim λ_n = ∞, maka (N,∆λ)₀ mempunyai sifat AK. n→∞                 ,

• 3.2 β-Dual Dari Ruang Barisan (]v,∆2)∞, (N,∆λ) Dan (N,∆λ)₀

Definisi 3.8. Diketahui Z sebarang barisan, β — dual dari ruang barisan Z ditulis z^ didefinisikan sebagai z^ = {x∈ ω: l∑^L₁x_ty_kl < ∞,y_k ∈ Z}. (E. Malkowsky and V. Rakocevic : 2007)

Definisi 3.9. Jika X dan Y sebarang himpunan bagian ω dan x = (_Zk) sebarng barisan di ω , maka didefinisikan z * X = {x ∈ ω: xz ∈ X} , selanjutnya didefinisikan M(X, X) =∩_x∈_x x * X = {x ∈ ωryx ∈ K, untuk setiap x ∈ X}

Disebut ruang multiplier dari X dan Y. (E. Malkowsky and V. Rakocevic : 2007)

Teorema 3.10. Jika X ruang barisan maka M(X, _cs) =X^∙ (E. Malkowsky and V. Rakocevic : 2007)

Bukti: diambil sebarang y ∈ M(X, cs) diperoleh ∑∞=_ιxky_k konvergen untuk setiap x ∈ X. Akibatnya s_n = ∑_k=₁ x_ky_k konvergen. Oleh karena itu (s_n) terbatas, jadi terdapat M > 0 sehingga ∣_sJ ≤ M untuk setiap n ∈ N diperoleh y ∈ X^ . Jadi M(X,cs) ⊆X^

Diambil sebarang y ∈ X^ diperoleh ∣∑∞=_ιxky_k∣ < ∞ untuk setiap x ∈ X. Andaikan y ∉ M(X, cs) maka terdapat x ∈ X sehingga (x_ky_k) ∉ cs. hal ini kontradiksi dengan ∣∑∞=₁x_ky_k∣ < ∞. J^adi y ∈ m(x,cs). ■

Teorema 3.11. M(c₀,c) = l∞, M(c,c) = c dan M(l∞,c) = c₀. (E. Malkowsky and V.

Rakocevic : 2007)

Selanjutnya didefinisikan

Mo = [(^A*lι)∩(∆^*l_ω)j

='^x ∈ -Σ !△ G⅛>^l < ∞ ^sup b⅛ι^xk∣ < ∞j M = ^λ*Zι)∩Q*c)}

i∞                                                             y

^x ∈ ω: V △ f-—^xk--V < ∞, Iim (-—^k--x A ada!

k—i Uk^- 4-√         ^k→∞ Uk^- 4-i ' J

M∞ = ^Q∖ λ * l₁)∩ (— * c₀)j

• = |%∈ω:V|∆^ —--)⅞∣<∞, lim f⅜) = ⁰I

• 1     k—^jι   W — 4-1' ^k|      k→∞⅛- 4-i ^k/   J

diamana

Selanjutnya ∑_n      =yn-ιχf^Lb _n ■  ^zn  _r ,

(2)

∑k=l ^χk^yk   ∑k=l∆ I_{1 1}   ) AfcClk ⁺ ₁ n   Xk^k

×^zk^-zk-1 '          ^zn^-zn-1

Teorema 3.12. (n,∆A)o^ = Mo^, (N,∆λ')^β = M dan (N,∆λ)J = M_m

Bukti: Diambil sebarang _χ ∈ (Nj ∆λ) ^β maka (_χky_k) ∈ cs akibatnya

lim XkVk = 0 untuk setiap χ ∈ (N _l∆λ)₀ sehingga berdasarkan (2) dan teorema 3.11 k→∞                            ’

diperoleh χ ∈∆λ* l_l dan L2l_{χ a} ) ∈ l . Oleh karena itu χ ∈ M₀ • ×Z_k-Z_k-- ^{k k}^

Selanjutnya diambil sebarang _χ ∈ M₀ akibatnya _χ ∈∆λ*lι ^dan χ∈±*l .O^leh

∈ δz   ⁰⁰

karena itu berdasarkan (2) diperoleh ∣∑°-_ιχky_k∣ < ∞ atau (_χky_k) ∈ _CS atau

⅛^χkyk = ⁰•^Jadiχ∈(N,∆λ)o^•

Diambil sebarang χ ∈ (N ∆λ) maka (χ_ky_k) ∈ cs. Andaikan χ ∉ ^λ * l_l dan _χ ∉ A * _c '                                                         ∉ δz

tidak ada. Hal ini kontradiksi

-^χk⁾

akibatnya I^ (_«!_) J > ∞ ^dan lim (-^z^

• ¹   Vz_k-z_k-J ^k∣           k→∞^z_k-z_k.

  -

  
  

dengan (χ_ky_k) ∈ cs.

• 4.    Kesimpulan dan Saran

Kesimpulan: Ruang barisan (N,∆λ)_o , (N,∆λ^) dan (N,∆λ)₀ merupakan ruang BK selaanjutnya ruang barisan (N,∆λ}₀ memunyai sifat AK, dengan melihat dari ruang multiplier dapat ditentukan ruang β — dual dari masing-masing ruang barisan (Ni ∆λ)_m, (N,∆λ~) ^dan (N,∆λ)o.

Saran: pada penelitian ini masih belum ditentukan hubungan masing-masing ruang jika ditinjau dari definisi ruang β _— dualnya.

Daftar Pustaka

Mursaleen, M dan Noman A.K, on the Spaces of λ -Convergent and Bounded Sequences, Thai Journal of Mathematics., 8 (2) (2010) 311-329

E. Malkowsky and V. Rakocevic, Measure of noncompacness of linear operator between spaces of sequences that are (N, q) seummabel or bounded, Czechoslovac Math. J., 51 (3) (2007) 1146-1163

E. Malkowsky and E. Savas, Matrix transformations between sequence spaces of generalized weighted means, Apl. Math. Comput, 147 (2) (2004) 333-345.

124