Jurnal Matematika Vol. 2 No. 2, Desember 2012. ISSN : 1693-1394

Perbandingan Analisis Generalized Poisson Regression (GPR) dan Regresi Binomial Negatif Untuk Mengatasi Overdispersi

Studi Kasus: Pemodelan Jumlah Kasus Kanker Serviks di Jawa Timur

Brianika Irawati

Jurusan Statistika, FMIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) e-mail: brianika11@gmail.com

Purhadi

Jurusan Statistika, FMIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) e-mail: purhadi@statistika.its.ac.id

Abstract: Data jumlah kasus kanker serviks di Provinsi Jawa Timur pada penelitian ini merupakan salah satu contoh data diskrit (count) dimana pada umumnya menggunakan regresi poisson dalam analisisnya. Karakteristik penting dalam pemodelan ini yaitu mean harus sama dengan varians. Namun, kondisi seperti ini sulit dipenuhi sedangkan pada umumnya sering ditemui data diskrit dengan varians lebih besar dibandingkan dengan rata-ratanya atau disebut dengan over dispersi seperti yang terjadi pada kasus jumlah kanker serviks di Jawa timur ini. Untuk menangani masalah over dispersi, dapat dilakukan pemodelan dengan Generalized Poisson Regresion (GPR) dan Regresi Binomial Negatif. Model ini dapat mengatasi masalah over dispersi karena tidak mengharuskan nilai mean yang sama dengan nilai varians seperti pada model regresi poisson. Model terbaik menggunakan GPR menghasilkan 8 variabel prediktor yang signifikan mempengaruhi jumlah kasus kanker serviks di Jawa Timur antara lain persentase tenaga medis (X2), persentase penduduk perempuan yang umur kawin pertama ≤ 16 tahun (X3), persentase penduduk miskin (X7), persentase penduduk perempuan yang menggunakan kondom (X8), persentase penduduk perempuan yang berstatus kawin (X10), persentase penduduk perempuan usia ≥ 35 tahun (X11), persentase rata-rata pengeluaran untuk konsumsi makanan per bulan (X12), dan persentase penduduk yang merokok (X13). Sedangkan model terbaik menggunakan regresi binomial negatif menghasilkan 2 variabel prediktor yang signifikan yaitu persentase penduduk yang tinggal di daerah berstatus desa (X5 ) dan persentase rata-rata pengeluaran untuk konsumsi makanan per bulan (X12). Model GPR menghasilkan nilai AIC sebesar 349,90. Sedangkan model regresi binomial negatif menghasilkan nilai AIC sebesar 327,65. Maka model terbaik diperoleh dari model regresi binomial negatif karena menghasilkan nilai AIC terkecil.

Keywords: AIC, Generalized Poisson Regression, Kanker Serviks, Regresi Binomial Negatif.

  • 1.    Pendahuluan

Regresi poisson merupakan analisis regresi nonlinier dari distribusi poisson, dimana analisis ini sangat cocok digunakan dalam menganalisis data diskrit (count) jika mean 13

proses sama dengan variansnya. Dalam kenyataannnya, asumsi mean sama dengan vari-ansnya (equidispersion) jarang terpenuhi sedangkan pada umumnya sering ditemui data diskrit dengan varians lebih besar dibandingkan mean (overdispersi) seperti yang terjadi pada data kasus jumlah kanker serviks di Jawa timur dalam penelitian ini. Analisis yang sesuai dalam menangani kasus over dispersi ini adalah Generalized Poisson Regression (GPR) dan regresi binomial negatif. Kajian yang digunakan dalam penelitian ini adalah membandingkan model terbaik GPR dan regresi binomial negatif serta mengetahui faktor-faktor terhadap jumlah kasus kanker serviks di Jawa Timur.

Dewi [5] melakukan penerapan Regresi Binomial Negatif pada kasus overdispersi pada regresi poisson studi kasus ketidaklulusan siswa SMA dalam ujian nasional di DKI Jakarta. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa model Regresi Binomial Negatif merupakan salah satu solusi yang dapat digunakan untuk mengatasi permasalahan dalam data yang mengandung overdispersi. Selanjutnya, Listiani [9] melakukan penerapan analisis regresi poisson dan GPR pada pemodelan faktor-faktor yang mempengaruhi angka kematian bayi di Provinsi Jawa Timur tahun 2007. Hasil penelitian menunjukkan bahwa regresi poisson tidak dapat diaplikasikan untuk pemodelan faktor-faktor yang mempengaruhi angka kematian bayi di Provinsi Jawa Timur tahun 2007 karena variabel respon mengalami overdispersi sehingga digunakan model GPR.

Kanker Serviks (Cervical Cancer), atau kanker leher rahim adalah kanker yang terjadi pada serviks uterus, yaitu bagian organ reproduksi wanita yang merupakan pintu masuk ke dalam rahim yang terletak antara rahim (uterus) dengan liang senggama. Menurut WHO pada tahun 2010 terdapat 500000 kasus kanker serviks di dunia. Indonesia merupakan negara dengan kasus kanker serviks terbanyak kedua setelah negara Cina yaitu sebesar 15000 kasus kanker serviks. Provinsi Jawa Timur merupakan salah satu provinsi penyumbang terbesar jumlah kasus kanker serviks di Indonesia. Jumlah kasus kanker serviks di Jawa Timur pada tahun 2010 adalah 1688 atau sebesar 11,25% dari kasus kanker serviks di Indonesia. Penelitian tentang kanker serviks yaitu Har-tini (2007) meneliti faktor-faktor apa saja yang mempengaruhi terjadinya kasus kanker serviks. Hasil yang diperoleh adalah faktor-faktor yang signifikan mempengaruhi kanker serviks antara lain usia, penggunaan kontrasepsi, frekuensi melahirkan, usia menstruasi pertama, dan riwayat keguguran.

Penelitian ini dilakukan untuk mendapatkan model terbaik dengan membandingkan model yang diperoleh dari hasil analisis GPR dan Regresi Binomial Negatif pada studi kasus jumlah kanker serviks tiap kabupaten/kota di Provinsi Jawa Timur tahun 2010. Hasil penelitian ini juga diharapkan dapat memberikan informasi tambahan tentang faktor-faktor apa saja yang secara signifikan mempengaruhi terjadinya kanker serviks.

  • 2.    Tinjauan Pustaka

Tinjauan yang digunakan terdiri atas tinjauan kasus yang mendeskripsikan tentang penyakit kanker serviks dan tinjauan statistika yang meliputi teori-teori yang digunakan dalam analisis.

  • 2.1.    Satistika Deskriptif

Statistika deskriptif adalah analisis statistika yang membahas tentang metode-metode untuk menya jikan data sehingga menarik dan informatif. Secara umum statistika deskriptif dapat diartikan sebagai metode-metode yang berkaitan dengan pengumpulan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi yang berguna. Mean (Rataan) didefinisikan sebagai jumlah seluruh data dibagi dengan banyaknya data (Walpole, [14]).

n

_

X=


Xi i=1

(1)


n

Varians adalah suatu nilai yang menunjukkan ukuran variabilitas yang dihitung dengan cara mengkuadratkan standar deviasi (Walpole, [14]). Rumus yang digunakan untuk varians ditunjukkan pada persamaan (2) sebagai berikut.

n

∑(Xi -X¯)2

S


i=1

(2)


n-1

  • 2.2.    Regresi Poisson

Regresi poisson merupakan analisis regresi nonlinier dari distribusi poisson, dimana analisis ini sangat cocok digunakan dalam menganalisis data diskrit (count). Model regresi poisson merupakan Generalized Linier Model (GLM) yang data respon diasumsikan berdistribusi poisson. Model regresi poisson diberikan sebagai berikut.

yi = Poisson (µi)

µi = exp(xiT β)

maka

ln(µi) = β0 + β1x1i + β2x2i + · · · + βkxik(3)

Estimasi parameter model regresi poisson menggunakan metode Maximum Likelihood Estimator. Fungsi log-likelihood poisson sebagai berikut.

nnn

lnL(β) = - ∑ exp(xiT β) + ∑yixiTβ - ∑ ln(yt!)(4)

i=1                i=1

Untuk memperoleh nilai taksiran β maka persamaan (3) diturunkan terhadap β dan disamadengankan nol menggunakan metode newton raphson.

Salah satu metode yang digunakan untuk menentukan statistik uji dalam pengujian parameter model regresi poisson adalah dengan menggunakan metode Maximum Likelihood Ratio Test (MLRT) dengan hipotesis.

H0 : β1 = β2 = · · · - βk = 0

H1 : paling sedikit ada satu betai ̸= 0; i = 1, 2, · · · , k

Statistik uji untuk kelayakan model regresi poisson adalah sebagai berikut.

D(β) = -2ln


L(ωˆ) L(Ω)


= 2[ln(L(Ω)) - ln(L(ωˆ))]


(5)


Keputusan yang akan diambil adalah tolak H0 jika D(βˆ) > χv2;α dengan v adalah banyaknya parameter model dibawah populasi dikurangi dengan banyaknya parameter dibawah H0 . Parameter model regresi poisson yang telah dihasilkan dari estimasi parameter belum tentu mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap model. Untuk itu perlu dilakukan pengujian terhadap parameter model regresi poisson secara individu. Dengan menggunakan hipotesis sebagai berikut.

H0 : βi = 0 (pengaruh variabel ke-i tidak signifikan)

H0 : βi ̸= 0 (pengaruh variable ke-i signifikan)

Statistik uji yang digunakan adalah:

z = βi se(βˆi)

(6)


dengan se(βi) adalah nilai standar error atau tingkat kesalahan dari parameter βi. Keputusan yang akan diambil adalah tolak H0 jika |zhit | > zα/2 dimana adalah tingkat signifikansi.

Regresi poisson dikatakan mengandung overdispersi apabila nilai variansnya lebih besar dari nilai meannya. Overdispersi memiliki dampak yang sama dengan pelang-garan asumsi jika pada data diskrit terjadi overdispersi namun tetap digunakan regresi poisson, anak dugaan dari parameter koefisien regresinya tetap konsisten namun tidak efisien. Hal ini berdampak pada nilai standar error yang menjadi under estimate, sehingga kesimpulannya menjadi tidak valid. Fenomena overdispersi (McCullagh dan Nelder [11]) dapat dituliskan var(Y ) > E(Y ).

  • 2.3.    Generalized Regression Poisson (GPR)

Penanganan pelanggaran asumsi equidispersi pada regresi poisson dilakukan pengembangan model menggunakan GPR. Pada model GPR selain terdapat parameter juga terdapat θ sebagai parameter dispersi. Model GPR mirip dengan regresi poisson yaitu pada persamaan (4) akan tetapi model GPR mengasumsikan bahwa komponen randomnya berdistribusi general poisson. Dalam analisis GPR, jika θ sama dengan 0 maka model GPR akan menjadi model poisson. Jika θ lebih dari 0 maka model GPR merepresentasikan data count yang mengandung kasus overdispersi dan jika θ kurang dari 0 merepresentasikan data count yang mengandung underdispersi.

Penaksiran parameter model GPR menggunakan metode Maximum Likelihood Estimator (MLE). Fungsi log-likelihood untuk model GPR adalah.

ln L(β θ) = ∑{yi(xTβ)-yiln(1 + θexp(xT)β)+ (yi- 1)ln(1 + , i=1   - ln(yi!) - exp(xiT β)(1 + θyi)(1 + θexp(xiTβ))-1



θyi)+


(7)


Untuk mendapatkan taksiran parameter β dan θ maka persamaan (7) diturunkan terhadap β dan θ menggunakan metode numerik, iterasi Newton-Raphson.

Pengujian parameter model GPR dilakukan sama seperti regresi poisson dengan menggunakan metode MLRT dan uji parsial menggunakan statistik uji z .

  • 2.4.    Regresi Binomial Negatif

Selain GPR, penanganan overdispersi pada regresi poisson juga dapat dilakukan menggunakan pendekatan model binomial negatif. Dalam regresi binomial negatif, jika θ menuju nom maka var(Yi) menuju µi sehingga binomial negatif akan konvergen menuju poisson. Model regresi binomial negatif memiliki bentuk yang sama dengan model regresi poisson yaitu persamaan (4).

Penaksiran parameter regresi binomial negatif dilakukan menggunakan metode Maximum Likelihood Estimator. Persamaan log-likelihood untuk binomial negatif adalah.

ln L(θ, β)


n

=∑

i=1



’ y i-1

∑ ln( y j + θ-1)

. i=0


)


— ln yi! — (yi + θ 1) ×


ln(1 + θexp(xiTβ)) + yi lnθ + yixiTβ


(8)


Estimasi parameter (θ, β) diperoleh dengan menurunkan persamaan (8) terhadap β dan θ. Pengujian parameter yang dilakukan sama dengan pengujian pada regresi poisson. Uji serentak menggunakan statistik uji D (θ) dan statistik uji parsial menggunakan uji z.

  • 2.5.    Kanker Serviks

Kanker Serviks (Cervical Cancer), atau kanker leher rahim adalah kanker yang terjadi pada servik uterus, yaitu bagian organ reproduksi wanita yang merupakan pintu masuk ke dalam rahim yang terletak antara rahim (uterus) dengan liang senggama/vagina ([13]). Gejala paling umum dari kanker serviks adalah pendarahan abnormal dari vagina atau flek (bercak) vagina. Pendarahan abnormal ini terutama terjadi setelah berhubungan seksual, namun dapat muncul juga perdarahan diantara 2 siklus menstruasi, menor-agia, atau bercak/perdarahan postmeno-pause. Bila perdarahan berlangsung dalam jangka waktu lama maka pasien akan mengeluh lelah dan lemas karena anemia yang dialaminya. Bercak kekuningan yang encer diikuti dengan bau amis dapat merupakan tanda-tanda keganasan. Gejala biasanya baru muncul ketika sel yang abnormal berubah menjadi keganasan dan menyusup ke jaringan sekitar. Kanker serviks dapat menyebar ke berbagai macam organ. Diantaranya ke kelenjar getah bening, vagina, kandung kemih, rektum, endometrium (selaput dinding rahim), dan ovarium (indung telur). Masing-masing mem-berikan gejala yang berbeda-beda. Penyebaran kanker ser-viks pada umumnya melalui peredaran kelenjar getah bening, peredaran melalui darah jarang terjadi.

Table 1

Variabel Penelitian

Variabel

Keterangan

Skala Pengukuran

Y

Jumlah kasus kanker serviks

Rasio

x1

Persentase sarana kesehatan

Rasio

x2

Persentase tenaga medis.

Rasio

x3

Persentase penduduk perempuan yang umur kawin pertama ≤ 16 tahun

Rasio

x4

Persentase penduduk dan Rumah Tangga (RT) perempuan.

Rasio

x5

Persentase penduduk yang tinggal di daerah berstatus desa.

Rasio

x6

Persentase penduduk perempuan yang tamat SMA.

Rasio

x7

Persentase penduduk miskin.

Rasio

x8

Persentase penduduk perempuan yang menggunakan kondom.

Rasio

x9

Persentase perempuan dengan jumlah anak yang dilahirkan lebih dari 4.

Rasio

x10

Persentase penduduk perempuan yang berstatus kawin.

Rasio

x11

Persentase penduduk perempuan usia ≥ 35

Rasio

x12

Persentase rata-rata pengeluaran untuk konsumsi makanan per bulan

Rasio

x13

Persentase penduduk yang merokok.

Rasio

  • 3.    Metodologi Penelitian

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yaitu data variabel respon (jumlah kasus kanker serviks tiap kabupaten/kota di Provinsi Jawa Timur tahun 2010). diperoleh dari Dinas Kesehatan Provinsi Jawa Timur, sedangkan data variabel prediktor (X) diperoleh dari hasil Survei Sosial Ekonomi Nasional (SUSENAS) BPS Jawa Timur tahun 2010.

Langkah-langkah analisis dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.

  • 1.    Menganalisis statistika deskriptif untuk variabel respon dan variabel prediktor.

  • 2.    Menganalisis korelasi antar variabel-variabel prediktor untuk mendeteksi adanya kasus multikolinieritas.

  • 3.    Mendapatkan model terbaik untuk regresi poisson.

  • 4.    Mendeteksi adanya kasus overdispersi pada data dengan melihat nilai Pearson Chi-squares dan Deviance yang dibagi derajat bebasnya.

  • 5.    Mendapatkan model terbaik untuk GPR dengan menaksir parameter GPR, menguji signifikansi parameter secara serentak dan parsial serta menghitung nilai AIC dari model GPR.

  • 6.    Mendapatkan model terbaik untuk regresi binomial negatif dengan menaksir parameter, menguji signifikansi parameter secara serentak dan parsial serta menghitung nilai AIC.

  • 7.    Membandingkan model terbaik hasil GPR dan regresi binomial negatif menggunakan nilai AIC.

  • 4.    Analisis dan Pembahasan

    • 4.1.    Statistika Deskriptif

Rata-rata dari jumlah kasus kanker serviks tiap kabupaten/kota di Jawa Timur adalah 46 kasus. Kota Malang merupakan kota yang memiliki jumlah kasus kanker serviks tertinggi yaitu sebesar 479 kasus pada tahun 2010, sedangkan daerah yang tidak ditemukan

terjadi kasus kanker serviks diantaranya adalah kabupaten Pacitan, Jember, Situbondo, Pasuruan, Mojokerto, Jombang, Nganjuk, Tuban, Pamekasan, dan kota Probolinggo. Nilai varians dari variabel respon yaitu 7493,52. Hal ini menunjukkan varians kasus kanker serviks di Jawa Timur sangat besar karena terdapat daerah dengan jumlah kasus kanker serviks sampai ratusan namun ada daerah yang tidak ditemukan adanya kasus kanker serviks.

Nilai varians tertinggi dari beberapa variabel prediktor yang diduga mempengaruhi jumlah kasus kanker serviks di Jawa Timur terdapat pada variabel X5 (persentase penduduk yang tinggal di daerah berstatus desa) yaitu sebesar 1064,29 dengan nilai minimum sebesar 0 dan nilai maksimum sebesar 93,55. Artinya bahwa setiap kabupaten/kota di Jawa Timur memiliki kondisi tempat tinggal yang berbeda-beda. Semakin besar range data, maka semakin besar nilai varians.

  • 4.2.    Pemodelan Jumlah Kasus Kanker Serviks tiap Kabupaten/Kota di Jawa Timur Menggunakan Regresi Poisson.

Salah satu syarat dalam regresi yang melibatkan bebe-rapa variabel prediktor adalah antara variabel prediktornya saling bebas. Jika terdapat adanya hubungan antara variabel prediktor maka terjadi adanya kasus multikolinieritas. Iden-tifikasi kasus multikolinieri-tas dalam penelitian ini diguna-kan 2 kriteria yaitu nilai korelasi dan VIF. Berdasarkan hasil analisis diperoleh nilai korelasi lebih besar 0,95 dan nilai VIF lebih besar dari 10 yaitu pada variabel X1 dan X6. Maka kedua variabel tersebut tidak diikutsertakan dalam analisis selanjutnya yaitu pemodelan dengan regresi poisson, GPR, dan regresi binomial negatif. Data jumlah kasus kanker serviks adalah data diskrit yang mengikuti distribusi poisson. Pemodelan menggunakan analisis regresi poisson ini dilakukan untuk mengetahui faktor-faktor yang mempengaruhi jumlah kasus kanker serviks. Dengan menggunakan metode MLE diperoleh esti-masi parameter model regresi poisson yang disajikan dalam Tabel 2 dan nilai AIC yang dihasilkan sebesar 1226,6.

Tabel 2 Estimasi Parameter Model Regresi Poisson

Parameter

Estimasi

Standard Error

Z

P-Value

β0

11,2909

3, 1317

3, 61

0, 009

β2

0,2045

0, 01735

11, 79

< 0,0001

β3

0, 04927

0, 005438

9, 06

< 0,0001

β4

-0, 02922

0, 05028

-0, 58

0, 5647

β5

0, 02022

0, 002644

7, 65

< 0, 0001

β 7

- 0,1036

0, 008928

-11, 60

< 0, 0001

β8

- 0,3134

0, 09652

-3, 25

0, 0025

β9

0, 09394

0, 01363

6, 89

< 0, 0001

β 10

- 0,04298

0, 01766

-2, 43

0, 0199

β 11

0, 04362

0, 01366

3, 19

0, 0029

β12

-0, 1883

0, 01007

-18, 71

< 0, 0001

β13

0, 1021

0, 009495

10, 76

< 0, 0001

Nilai devians D(β) yaitu sebesar 1202,6. Kemudian nilai devians dibandingkan dengan nilai Chi-Square dengan taraf signifikasi (α) sebesar 15%. Nilai χ2 = 19, 270 maka

D(β) > χ212,0,15 . Jadi keputusannya yaitu Tolak H0 artinya bahwa minimal terdapat satu parameter yang berpengaruh signifikan terhadap model. Selanjutnya untuk mengetahui variabel prediktor mana saja yang memberikan pengaruh secara signifikan, dilakukan pengujian parameter secara parsial. Berdasarkan Tabel 2 dengan taraf signifikansi 15% dapat diketahui bahwa p-value dari semua parameter lebih kecil 0,15 kecuali parameter β4 . Selain itu, jika nilai dari |Zhit | > Zα/2 maka tolak H0 yang artinya bahwa parameter tersebut signifikan. Nilai Zhit dari semua parameter lebih besar dari Zα/2 = 1,44 kecuali |Zhit| dari β4 sehingga parameter β0, β2, β3, β5, β7, β8, β9, β10, β11, β12 , dan β13 signifikan berpengaruh terhadap model. Jadi model regresi poisson yang dihasilkan adalah.

  • 11,    209 + 0, 2045X2 + 0, 04927X3 + 0, 02022X5 - 0, 1036X7+

µˆ = exp   -0, 3134X8 + 0, 09394X9 - 0, 04298X10 + 0, 04362X11

-0, 1883X12 + 0, 1021X13

Variabel prediktor yang berpengaruh terhadap jumlah kasus kanker serviks di Jawa Timur yaitu persentase tenaga medis (X2), persentase penduduk perempuan yang umur kawin pertama ≤ 16 tahun (X3), persentase penduduk yang tinggal di daerah berstatus desa (X5), persentase penduduk miskin (X7), persentase penduduk perempuan yang menggunakan kondom (X8), persentase perempuan dengan jumlah anak yang dilahirkan lebih dari 4 (X9), persentase penduduk perempuan yang berstatus kawin (X10), persentase penduduk perempuan usia ≥ 35 tahun (X11), persentase rata-rata pengeluaran untuk konsumsi makanan per bulan (X12), dan persentase penduduk yang merokok (X13). Peningkatan maupun penurunan jumlah kasus kanker serviks tiap kabupaten/kota di Jawa Timur tergantung dari nilai koefisien masing-masing variabel yang berpengaruh. Selanjutnya dilakukan pemeriksaan kasus overdispersi pada model regresi poisson yang disajikan pada Tabel 3.

Tabel 3 Nilai Deviance dan Pearson dari Model Regresi Poisson

Kriteria       Nilai   db        Nilai/db

Deviance       1056,621  26           40,639

Pearson Chi-Square  1166,763  26           44,876

Berdasarkan Tabel 3 dapat diketahui bahwa nilai deviance/db dan pearson chi-square/db lebih besar dari 1 sehingga dapat disimpulkan pada model regresi poisson jumlah kasus kanker serviks di Jawa Timur terjadi overdispersi.

  • 4.3.    Pemodelan Jumlah Kasus Kanker Serviks tiap Kabupaten/Kota di Jawa Timur Menggunakan GPR.

GPR merupakan salah satu model yang digunakan untuk mengatasi kasus overdispersi pada regresi poisson. Penaksiran parameter model GPR disa jikan pada Tabel 4 dan nilai AIC yang dihasilkan adalah 349,9.

Tabel 4 Estimasi Parameter Model GPR

Parameter

Estimasi

Standard Error

Z

P-Value

β0

124, 92

25, 9611

4, 81

< 0, 0001

β2

75, 4861

13, 9540

5, 41

< 0.0001

β3

0, 6756

0, 1624

4, 16

< 0.0002

β7

3, 4561

0, 6266

5, 52

< 0, 0001

β8

-120, 45

23, 7836

-5, 06

< 0, 0001

β9

0, 4818

0, 5880

0, 82

0, 4178

β10

-8, 8125

1, 2018

-7, 33

< 0, 0001

β11

17, 2680

3, 4279

5, 04

< 0, 0001

β12

-13, 8343

2, 4783

-5, 58

< 0, 0001

β13

12, 7174

2, 6253

4, 84

< 0, 0001

θ

0,3216

0, 05795

5, 55

< 0, 0001

Nilai devians D(β) yaitu sebesar 327,9. Kemudian nilai devians dibandingkan dengan nilai Chi-Square dengan taraf signifikasi (α) sebesar 15%. Nilai χ21o;o 15) = 16, 711 maka D(β) > χ2io;o 15) . Jadi keputusannya yaitu Tolak H0 artinya bahwa minimal terdapat satu parameter yang berpengaruh signifikan terhadap model. Selanjutnya untuk mengetahui variabel prediktor mana saja yang memberikan pengaruh secara signifikan, dilakukan pengujian parameter secara parsial. Berdasarkan Tabel 4 dengan taraf signi-fykansi 15% dapat diketahui bahwa p-value dari semua parameter lebih kecil 0,15 kecuali parameter β9. Selain itu, jika nilai dari ∣Zhit > Zα/21 maka tolak H0 yang artinya bahwa parameter tersebut signifikan. Nilai ∣Zhit∣ dari semua parameter lebih besar dari Zα/2 = 1, 44 kecuali ∣Zha∣ dari β9 sehingga parameter β0, β2, β3, β7, β8, β 10, βn, β 12, dan β 13 signifikan berpengaruh terhadap model. Parameter θ sebesar 0,3216 atau lebih besar 0 menunjukkan terjadinya kasus overdispersi sesuai dengan hasil pengujian yang dilakukan sebelumnya. Jadi model GPR yang dihasilkan adalah sebagai berikut.

μ = exp ^


124, 92 + 75, 4861X2 + 0, 6756X3 + 3, 4561X7 - 120, 45X8+ -8, 8125X10 + 17, 2680X11 - 13, 8343X12 + 12, 7174X13

)


Variabel prediktor yang berpengaruh terhadap jumlah kasus kanker serviks di Jawa Timur berdasarkan model GPR yang dihasilkan yaitu persentase tenaga medis (X2), persentase penduduk perempuan yang umur kawin pertama ≤ 16 tahun (X3), persentase penduduk miskin (X7), persentase penduduk perempuan yang menggunakan kondom (X8), persentase penduduk perempuan yang berstatus kawin (X10), persentase penduduk perempuan usia ≥ 35 tahun (X11), persentase rata-rata pengeluaran untuk konsumsi makanan per bulan (X12), dan persentase penduduk yang merokok (X13).

  • 4.4.    Pemodelan Jumlah Kasus Kanker Serviks tiap Kabupaten/Kota di Jawa Timur Menggunakan Regresi Binomial Negatif.

Selain menggunakan GPR dalam menangani overdispersi pada regresi poisson, juga bisa menggunakan model regresi binomial negatif. Sepuluh variabel yang signifikan pada regresi poisson menghasilkan 1023 kombinasi kemungkinan model regresi binomial negatif yang disajikan pada Tabel 5.

Tabel 5 Kemungkinan Model Regresi Binomial Negatif dari Kombinasi Variabel

Kemungkinan Model (Y dengan Xi)

AIC

Parameter yang Signifikan

X12

325,93

β0 , β12

X7X12

326,97

β0 , β12

X5X12X13

327,65

β0 , β5 , β12

X2X3X7X9

333,83

β0 , β7

X5X9X10X11X12

332,36

β0 , β5 , β12

X5X8X9X10X12X13

333.24

β0 , β5 , β12

X5X8X9X10X11X12X13

335,24

β0 , β5 , β12

X2X3X5X9X10X11X12X13

336,68

β12

X2X3X5X8X9X10X11X12X13

338,60

β12

Berdasarkan Tabel 5 dapat diketahui bahwa kombinasi tiga variabel menghasilkan parameter signifikan paling banyak dengan nilai AIC terkecil daripada kombinasi lainnya. Maka kombinasi tiga variabel prediktor ini akan dianalisis lebih lanjut untuk mendapatkan model GPR.

Tabel 6 Estimasi Parameter Model Regresi Binomial Negatif

Parameter

Estimasi

SE

Z-Value

P-Value

β0

12, 313

3, 719

3, 310

0, 000933

β5

0, 024

0, 016

1, 484

0, 137751

β12

-0, 217

0, 087

-2, 497

0, 012509

β13

0, 076

0, 056

1, 360

0, 173717

θ

0, 443

0, 111

3, 991

-

Nilai devians D(β) yaitu sebesar 317,653. Kemudian nilai devians dibandingkan dengan nilai Chi-Square dengan taraf signifikasi (α) sebesar 15%. Nilai χ2φo 15) = 7, 359 maka D (β > χ24;o 15)) . Jadi keputusannya yaitu Tolak H0 artinya bahwa minimal terdapat satu parameter yang berpe-ngaruh signifikan terhadap model. Selanjutnya untuk mengetahui variabel prediktor mana saja yang memberikan pengaruh secara signifikan, dilakukan pengujian parameter secara parsial. Berdasarkan Tabel 6 dengan taraf signifikansi 15% dapat diketahui bahwa p-value dari semua parameter lebih kecil 0,15 kecuali parameter β 13. Selain itu, jika nilai dari ∣ Zhit∣ > Zα/2 maka tolak H0 yang artinya bahwa parameter tersebut signifikan. Nilai ∖Zhit∖ dari semua parameter lebih besar dari Zα/2 = 1,44 kecuali dari βl3 sehingga parameter β0, β5, dan β 12 signifikan berpengaruh terhadap model. Parameter θ sebesar 0,443 atau lebih besar 0 menunjukkan terjadinya kasus overdispersi sesuai dengan hasil pengujian yang dilakukan sebelumnya. Jadi model regresi binomial negatif yang dihasilkan adalah sebagai berikut.

µˆ = exp(12, 313 + 0, 024X5 - 0, 217X12)

Variabel prediktor yang berpengaruh terhadap jumlah kasus kanker serviks di Jawa Timur berdasarkan model regresi binomial negatif yang dihasilkan yaitu persentase penduduk yang tinggal di daerah berstatus desa (X5) dan persentase rata-rata pengeluaran untuk konsumsi makanan per bulan (X12).

  • 4.5.    Pemilihan Model Terbaik

Kriteria pemilihan model terbaik yang digunakan adalah AIC. Model terbaik adalah model yang memiliki nilai AIC terkecil.

Tabel 7 Pemilihan Model Terbaik

Model            Variabel Signifikan AIC

GPR                  X2X3X5X7X8X10X11X12X13 349,90

Regresi Binomial Negatif X5X12                        327,65

Berdasarkan Tabel 7 dapat diketahui bahwa model terbaik untuk menangani kasus overdispersi pada regresi poisson model jumlah kasus kanker serviks di Jawa Timur adalah regresi binomial negatif meskipun regresi binomial negatif menghasilkan variabel prediktor yang signifikan lebih sedikit dibandingkan hasil dari model GPR.

  • 5.    Kesimpulan

Berdasarkan hasil analisis dan pembahasan maka dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

  • 1.    Secara umum, gambaran angka kasus kanker serviks di Jawa Timur pada tahun 2010 menunjukkan tingkat kasus yang masih tinggi dengan rata-rata 46 kasus tiap kabupaten/kota. Kota Malang merupakan kota yang memiliki jumlah kasus kanker serviks tertinggi yaitu sebesar 479 kasus, sedangkan daerah yang tidak ditemukan terjadi kasus kanker serviks diantaranya adalah kabupaten Pacitan, Jember, Situbondo, Pasuruan, Mojokerto, Jombang, Nganjuk, Tuban, Pamekasan, dan kota Probolinggo.

  • 2.    Hasil pemodelan jumlah kasus kanker serviks tiap kabupaten/kota di Jawa Timur menggunakan regresi poisson ternyata memberikan hasil adanya pengaruh overdis-persi. Dalam menangani kasus tersebut dila-kukan pemodelan menggunakan Generalized Poisson Regression (GPR) dan regresi binomial negatif. Mo-del terbaik menggunakan GPR menghasilkan 8 variabel prediktor yang signifikan mempengaruhi jumlah kasus kanker serviks di Jawa Timur antara lain persentase tenaga medis (X2), persentase penduduk perempuan yang umur kawin pertama ≤ 16 tahun (X3), persentase penduduk miskin (X7), persentase penduduk perempuan yang menggunakan kondom (X8), persentase penduduk perempuan yang berstatus kawin (X10), persentase penduduk perempuan usia ≥ 35 tahun (X11), persentase rata-rata pengeluaran untuk konsumsi makanan per bulan (X12), dan persentase penduduk yang merokok (X13). Sedangkan model terbaik menggunakan regresi binomial negatif meng-hasilkan 2 variabel prediktor yang signifikan yaitu persentase penduduk yang tinggal di daerah berstatus desa (X5) dan persentase rata-rata pengeluaran untuk konsumsi makanan per bulan (X12).

  • 3.    Perbandingan model GPR dan regresi binomial nega-tif untuk mengetahui model yang lebih baik dalam penanganan kasus overdispersi pada regresi poisson. Model GPR menghasilkan nilai AIC sebesar 349,90. Sedangkan model regresi binomial negatif mengha-silkan nilai AIC sebesar 327,65. Maka model terbaik diperoleh dari model regresi binomial negatif karena menghasilkan nilai AIC terkecil.

Daftar Pustaka

  • [1]    Agresti, A. (2002). Categorical Data Analysis Second Edition, John Wiley & Sons, New York.

  • [2]    Berk, D. dan MacDonald, J. (2007). Overdispersion and Poisson regression. Department of Statistics, Department of Criminology, University of Pennsylvania.

  • [3]    Bozdogan, H. (2000). Akaike’s Information Criterion and Recent Developments in Infor-mation Complexity, Mathematical Psychology, 44, 62-91.

  • [4]    Cameron, A.C. dan Trivedi, P.K. (1998). Regression Analysis of Count Data. Cambridge: Cambridge University Press.

  • [5]    Dewi, R.P. (2008). Ka jian Overdispersi Pada Regresi Poisson Dengan Menggunakan Regresi Binomial Negatif (Studi Kasus: Ketidaklulusan Siswa SMA dalam Ujian Nasional di DKI Jakarta). Bogor: Program Sarjana, Institut Pertanian Bogor.

  • [6]    Ferlay J. G (2002). Cancer Incidence, Mortality and Prevalence Worldwide. Lyon: IARC CancerBase, 2004.

  • [7]    Greene, W., Functional Forms For The Negative Binomial Model For Count Data. Foundations and Trends in Econometrics. Working Paper, Department of Economics, Stern School of Business, New York University, 2008: 585-590.

  • [8]    Hardin JW dan Hilbe JM. (2007). Generalized Linier Models and Extensions. Texas: A Strata Perss Publication.

  • [9]    Listiani, Y. (2010). Pemodelan Regresi Generalized Poisson pada Faktor-Faktor yang mempengaruhi Angka Kematian Bayi di Jawa Timur Tahun 2007. Surabaya: Program Sarjana, Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

  • [10]    Mansjoer, A, Triyanti, K, dan Savitri, R. (2008). Kapita Selekta Kedokteran. Edisi ketiga. Fakultas Kedokteran Universitas Indonesia : Media Aesculapis.

  • [11]    McCullagh P dan Nelder JA. 1983. Generalized Linier Models. London: Chapmann and Hall.

  • [12]    Mood, Alexander M., Graybill, Franklin A., dan Boes, D.C. (1974). Introduction to the Theory of Statistics, Third Edition. New York, NY: McGraw-Hill.

  • [13]    Prawirohardjo, S. (2008). Ilmu Kandungan. Edisi Kedua. Jakarta : PT Bina Pustaka.

  • [14]    Walpole, E Ronald. (1995). Pengantar Statistik Edisi Ketiga. Jakarta : PT. Gra-media Pustaka Utama.