Beberapa Sifat dari Modul dan Gelanggang dengan Dimensi Goldie Berhingga (Suatu Kajian Pustaka)

Jurnal Matematika Vol. 2 No. 1, Desember 2011. ISSN : 1693-1394

Beberapa Sifat dari Modul dan Gelanggang dengan Dimensi Goldie Berhingga

(Suatu Ka jian Pustaka)

Amir Kamal Amir

Kelompok Keahlian Aljabar,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin (UNHAS),

Jl. Perintis Kemerdekaan KM.10 Makassar 90245, Indonesia e-mail: [email protected]

Abstract: Suatu modul M dikatakan mempunyai demensi Goldie berhingga jika modul tersebut tidak memuat suatu jumlahan langsung dari takberhingga banyak submodul-submodul taknol. Sedangkan, suatu gelanggang R dikatakan mempunyai dimensi Goldie kanan berhingga jika gelanggang tersebut mempunyai dimensi Goldie berhingga sebagai suatu modul kanan. Tulisan ini akan menya jikan beberapa sifat dari modul dan gelanggang yang mempunyai dimensi Goldie berhingga. Sifat-sifat tersebut bukanlah merupakan sifat-sifat yang baru. Namun demikian, tulisan ini akan menyajikan pembuktian dari sifat-sifat tersebut dengan cara yang lebih terperinci dan lengkap sehingga lebih mudah dimengerti, terutama bagi pembaca pemula dalam bidang aljabar.

Keywords: modul, ring, Goldie, dimension, finite, direct sum.

• 1.    Pendahuluan

Misalkan M adalah suatu R-modul. M dikatakan mempunyai demensi Goldie berhingga jika M tidak memuat suatu jumlahan langsung dari takberhingga banyak submodul-submodul taknol. Sedangkan, suatu gelanggang R dikatakan mempunyai dimensi Goldie kanan berhingga jika R mempunyai dimensi Goldie berhingga sebagai suatu R-modul kanan.

Paper ini akan menguraikan beberapa sifat-sifat dari modul dan gelanggang yang mempunyai dimensi Goldie berhingga. Sifat-sifat tersebut bukanlah merupakan sifat-sifat yang baru. Namun demikian, tulisan ini akan menyajikan pembuktian dari sifat-sifat tersebut dengan cara yang lebih terperinci dan sederhana sehingga lebih mudah dimengerti , terutama bagi pembaca pemula dalam bidang aljabar.

Untuk pembahasan sifat-sifat tersebut di atas, dibutuhkan beberapa pengertian dan notasi. Oleh karena itu, sebelum memasuki pembahasan mengenai hal tersebut di atas, pada bagian ini disajikan lebih dahulu pengertian-pengertian dan notasi-notasi pendukung yang akan dipakai dalam pembahasan selanjutnya.

Definisi 1.1. [2] dan [4]. Misalkan S adalah himpunan bagian taknol dari suatu gelanggang R, maka annihilator kanan dari S dalam R didefinisikan sebagai,

r.ann(S) = {x ∈ R∖sx = 0 untuk setiap s ∈ S}

dan annihilator kiri dari S dalam R adalah

l.ann(S) = {x ∈ R∖xs = 0 untuk setiap s ∈ S}

6

Jika S hanya memuat satu elemen, s, saja, kita tulis r.ann(s) atau l.ann(s) sebagai ganti dari r.ann(S) atau l.ann(S).

Definisi 1.2. [1]. Jika suatu modul M mempunyai sifat bahwa setiap rantai mengecil submodul-submodulnya, yaitu

M = M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ · · ·

akan berhenti setelah berhingga banyaknya suku, maka M dikatakan memenuhi kondisi rantai mengecil (d.c.c ). Sebaliknya, jika suatu modul M mempunyai sifat bahwa setiap rantai membesar submodul-submodul M, yaitu

M = M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ · · ·

akan berhenti setelah berhingga banyaknya suku, maka M dikatakan memenuhi kondisi rantai membesar (a.c.c ). Berikut diberikan beberapa sifat dari modul yang memenuhi a.c.c dan d.c.c.

Teorema 1.3. Suatu modul M memenuhi kedua sifat a.c.c dan d.c.c jika dan hanya jika ada batas atas, katakan n, pada panjang rantai dari submodul-submodul M .

Bukti:

Pembuktian cukup sederhana.

Definisi 1.4. [3] dan [5]. Misalkan N adalah submodul dari modul M sedemikian sehingga untuk setiap submodul taknol L dari M memenuhi N ∩ L ̸= 0 maka N disebut suatu submodul esensial dari M.

Definisi 1.5. [3] dan [5]. Suatu submodul M dikatakan seragam jika M ̸= 0 dan setiap submodul taknol dari M adalah suatu submodul esensial.

Definisi 1.6. [4]. Misalkan M adalah suatu R-modul. M dikatakan mempunyai demensi Goldie berhingga jika M tidak memuat suatu jumlahan langsung dari takberhingga banyak submodul-submodul taknol. Sedangkan, suatu gelanggang R dikatakan mempunyai dimensi Goldie kanan berhingga jika R mempunyai dimensi Goldie berhingga sebagai suatu R-modul kanan. Lebih lanjut, R dikatakan gelanggang Goldie kanan jika ia mempunyai dimensi Goldie kanan berhingga dan memnuhi a.c.c untuk annihilator-annihilator kanan.

• 2.    Masalah dan Pembahasan

Secara umum, berdasarkan dimensi Goldie, modul dan gelanggang dibagi dalam dua kelompok. Satu kelompok merupakan kelompok modul dan gelanggang yang mempunyai dimensi Goldie takterhingga. Sedangkan kelompok yang lain adalah kelompok modul dan gelanggang yang mempunyai dimensi Goldie berhingga. Masalah yang akan dibahas dalam bagian ini adalah mengidentifikasi sifat-sifat yang dimiliki oleh suatu modul dan gelanggang yang mempunyai dimensi Goldie berhingga. Lebih jelasnya, dalam paper ini akan dipaparkan dengan terperinci permasalahan-permasalahan berikut:

• 1.    Apakah submodul taknol dari suatu modul yang mempunyai dimensi Goldie berhingga memuat suatu modul seragam?

• 2.    Apakah gelanggang dengan dimensi Goldie kanan berhingga, jika dikalikan dengan suatu elemen regular akan menghasilkan suatu ideal kanan esensial?

• 3.    Apakah gelanggang yang mempunyai dimensi Goldie berhingga akan memenuhi kondisi ranti membesar dan mengecil (a.c.c dan d.c.c)?.

Berikut disajikan beberapa sifat-sifat modul yang mempunyai dimensi Goldie berhingga.

Teorema 2.1. Misalkan M adalah suatu R-modul kanan taknol.

• a.    Jika M mempunyai dimensi Goldie berhingga, maka setiap submodul taknol dari M memuat suatu submodul seragam, dan terdapat berhingga banyak submodul-submodul seragam dari M yang mempunyai bentuk jumlahan langsung dan merupakan suatu submodul esensial dari M .

• b.    Misalkan bahwa M mempunyai submodul-submodul U₁ , U₂, · · · , U_n sedemikian sehingga jum-lahan U₁ + U₂ + · · · + U_n merupakan jumlahan langsung dan submodul esensial dari M , maka M mempunyai dimensi Goldie berhingga dan bilangan bulat positif n tidak bergantung pada pemilihan ui . Bilangan n ini disebut dimensi Goldie dari M dan ditulis sebagai dim M = n.

Bukti:

• a.    Misalkan bahwa M mempunyai dimensi Goldie berhingga dan misalkan K adalah suatu sub-modul taknol dari M . Akan ditunjukkan bahwa K mempunyai suatu submodul seragam. Hal ini sudah jelas kalau K adalah submodul seragam. Misalkan K bukan submodul seragam, maka terdapat submodul-submodul taknol A₁ dan B₁ dari K sedemikian sehingga A₁ ∩B₁ = 0 Dengan demikian A₁ ⊕ B₁ adalah jumlahan langsung dari dua submodul-submodul taknol dari M . Jika A1 atau B1 adalah submodul-submodul seragam maka pembuktian selesai. Jika tidak demikian, terdapat submodul-submodul taknol A2 dan B2 dari B1 sedemikian sehingga A2 ∩ B2 = 0. Dengan demikian A1 ⊕ A2 ⊕ B2 adalah jumlahan langsung dari tiga submodul-submodul taknol dari M . Karena M mempunyai dimensi Goldie berhingga, maka proses ini harus berhenti setelah berhingga banyaknya langkah, dan proses hanya berhenti ketika sampai pada suatu submodul seragam dari K .

Intinya, M mempunyai suatu submodul seragam U1 . Misalkan bahwa U1 tidak esensial dalam M , maka terdapat suatu submodul taknol K₁ dari M sedemikian sehingga U₁∩K₁ = 0. Misalkan U₂ adalah suatu submodul seragam dari K₁ maka jumlahan U₁ + U₂ adalah jumlahan langsung. Jika U₁ ⊕ U₂ tidak esensial dalam M maka terdapat submodul taknol K₂ dari M sedemikian sehingga (U1 ⊕ U2) ∩ K2 = 0 dan seterusnya. Proses ini juga harus berhenti setelah berhingga banyaknya langkah.

• b.    Misalkan bahwa U₁ , U₂, · · · , U_n adalah submodul-submodul seragam dari M sedemikian sehingga bahwa U1 + U2 + · · · + Un adalah jumlahan langsung dan esensial dalam M .

Untuk setiap i, tetapkan Vi = K ∩ Ui dan misalkan L = V1 + V2 + · · · + Vn . Kita peroleh L ⊆ K , jadi sekarang cukup ditunjukkan bahwa L adalah esensial dalam M . Misalkan x adalah suatu elemen taknol dari M , maka diperoleh x R ∩ (U₁ ⊕ · · · ⊕ U_n) ̸= 0 Dengan demikian terdapat suatu elemen r dari R sedemikian sehingga xr = u₁ + · · · + u_n dengan u_i ∈ U_i dan u₁ ̸= 0 V1 adalah esensial dalam U1 sebab V1 ̸= 0. Ini beararti terdapat suatu ideal kanan esensial X 1 dari R sedemikian sehingga u1X1 adalah suatu submodul taknol dari V1 oleh [1, (1.1)]. Dengan demikian terdapat suatu elemen r1 dari R sedemikian sehingga xr1 = v1 + a2 + · · · + an untuk suatu v₁ ∈ V₁ dan a_i ∈ U_i dengan v₁ ̸= 0. Jika a₂ = a₃ = · · · = a_n = 0, maka pembuktian sudah selesai sebab xr_i adalah suatu elemen taknol dari xR ∩ L

Misalkan a2 ̸= 0 maka terdapat suatu ideal kanan esensial X2 dari R sedemikian sehingga a2X2 adalah suatu submodul taknol dari V1 oleh [1, (1.1)]. Jadi ada elemen r2 dari R sedemikian sehingga xr2 = w1 + w2 + b3 + · · · + bn untuk suatu wi ∈ Vi dan bi ∈ Ui dengan w2 ̸= 0.

Akhirnya kita menemukan suatu elemen taknol dari xR ∩ L

Sekarang, misalkan bahwa Y1 , · · · , Yk adalah submodul-submodul taknol dari M sedemikian sehinga jumlahan Y₁ + · · · + Y_k adalah jumlahan langsung. Akan ditunjukkan bahwa k ≤ n untuk memudahkan pembuktian (b). Tetapkan W = Y₂ + · · · + Y_k, maka W bukan esensial di M sebab W ∩ Y1 = 0. Oleh karena itu, W ∩ Ui = 0 untuk suatu i dan dapat dimisalkan bahwa W ∩ U1 = 0. Dengan demikian U1 + Y3 + · · · + Yk adalah jumlahan langsung. Serupa dengan di atas, U₁+Y₃+· · ·+Y_k adalah bukan esensial, jadi kita bisa memisalkan (U₁+Y₃+· · ·+Y_k)∩U₂ = 0 Dengan demikian U₁ + U₂ + Y₃ + · · · + Y_k adalah jumlahan langsung. Dengan jalan ini diperoleh k ≤ n.

Dua teorema berikut mengaitkan antara elemen regular, dimensi Goldie, dan ideal esensial. Oleh karena itu, sebelum teorema disajikan, disajikan dahulu pengertian elemen regular.

Definisi 2.2. [4]. Suatu elemen c dari suatu gelanggang R dikatakan regular kanan jika r.ann(c) = 0, regular kiri jika l.ann(c) = 0, dan regular jika r.aan(c) = l.ann(c) = 0.

Teorema 2.3. Misalkan R adalah suatu gelanggang dengan dimensi Goldie kanan berhingga dan misalkan c adalah suatu elemen regular kanan dari R, maka cR adalah suatu ideal kanan esensial dari R.

Bukti:

Misalkan I adalah suatu ideal kanan dari R dengan I ∩ cR = 0 maka jumlahan I + cI + c²I + · · · adalah jumlahan langsung. Oleh karena itu, cⁿ = 0 untuk suatu n dan karena c adalah regular, maka I=0

Teorema 2.4. Misalkan R adalah suatu gelanggang kanan non-singular dengan dimensi Goldie kanan berhingga, maka R memnuhi a.c.c (kondisi rantai membesar) dan d.c.c (kondisi rantai mengecil) untuk annihilator-annihilator kanan.

Bukti:

Misalkan A dan B adalah annihilator-annihilator kanan dalam R dengan Misalkan juga bahwa A adalah suatu submodul esensial dari B . Akan ditunjukkan bahwa A = B

Misalkan b ∈ B , maka terdapat suatu ideal kanan esensial L dari R sedemikian sehingga bl ⊆ A oleh [1, (1.1)]. Sehingga l.ann(A)bl = 0 Tetapi R adalah non-singular kanan, oleh karena itu l.ann(A)b = 0 Jadi b ∈ r.ann(l.ann(A)), yaitu b ∈ A

Dengan demikian, jika A dan B adalah annihilator-annihilator kanan dalan R dan A adalah himpunan bagian murni dari B maka ada ideal kanan taknol C dari R sedemikian sehingga C ⊆ B dan A ∩ C = 0. Hal ini mengakibatkan bahwa suatu rantai annihilator-annihilator kanan yang berbeda dalam R menimbulkan jumlahan langsung ideal-ideal kanan taknol seperti ideal C . Oleh karena itu R memenuhi a.c.c dan d.c.c untuk annihilator-annihilator kanan.

• 3. Simpulan

Dari pembahasan di atas disimpulkan beberapa hal berikut:

• 1.    Setiap submodul taknol dari suatu modul yang mempunyai dimensi Goldie berhingga memuat suatu modul seragam.

• 2.    Suatu gelanggang dengan dimensi Goldie kanan berhingga, jika dikalikan dengan suatu elemen regular akan menghasilkan suatu ideal kanan

• 3.    Suatu gelanggang yang mempunyai dimensi Goldie berhingga akan memenuhi kondisi ranti membesar dan mengecil (a.c.c dan d.c.c).

References

• [1]    A.W.Chatters dan C.R.Hajarnavis, Rings with Chain Conditions, Pitman Advanced Publishing, Boston, 1986.

• [2]    K.R. Goodearl dan R.B. Warfield, An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings, Cambridge university press, New York, 1989.

• [3]    T.Y. Lam, Lectures on Modules and Rings, Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 1999.

• [4]    J.C. McConnel dan J.C.Robson. 1987. Noncommutative Noetherian Rings, John Wiley & Sons

• [5]    D. S. Passaman, 1991, A Course in Ring Theory, Brooks/Cole Publishing Company

Model-Check Based on Residual Partial Sums

Process of Heteroscedastic spatial Linear Regression Models

Wayan Somayasa

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Haluoleo Kendari 93232

e-mail: [email protected]

Abstract: It is common in practice to evaluate the correctness of an assumed linear regression model by conducting a model-check method in which the residuals of the observations are investigated. In the asymptotic context instead of observing the vector of the residuals directly, one investigates the partial sums of the observations. In this paper we derive a functional central limit theorem for a sequence of residual partial sums processes when the observations come from heteroscedastic spatial linear regression models. Under a mild condition it is shown that the limit process is a function of Brownian sheet. Several examples of the limit processes are also discussed. The limit theorem is then applied in establishing an asymptotically Kolmogorov type test concerning the adequacy of the fitted model. The critical regions of the test for finite sample sizes are constructed by Monte Carlo simulation.

Keywords: heteroscedastic linear regression model, least squares residual, partial sums process, Brownian sheet, asymptotic model-check.

• 1.    Introduction

Let us consider an experiment performed under n × n experimental conditions taken from a regular lattice given by

Ξ_n := {(l/n, k/n) : 1 ≤ l,k ≤ n}, n ∈ N.

Without loss of generality we consider the unit square I := [0, 1] × [0, 1] as an experimental region instead of any compact subset of R² . For convenience we take the observations carried out in Ξn row-wise initializing at the point (1 /n, 1 /n) and put them together in an n × n matrix Y(Ξ_n) : = (Y_lk)n=n_l =ι ∈ Rn×n, where the observation in the point (l/n,k/n) is denoted by Y_lk, 1 ≤ l,k ≤ n. Consequently, we have a sequence of observable random matrices (Y(Ξ_n))_n≥ ₁ C Rⁿ×ⁿ. As usual we furnish the vector space Rⁿ×ⁿ with the Euclidean inner product

< A, B > _r n×n := trace (A^τ B), A, B ∈ R ⁿ×ⁿ.

Let fi,..., f_p : I → R be known, real-valued regression functions defined on I. For a real-valued function f defined on I, let f (Ξ_n) := (f (l/n,k/n))n=n_ι=₁ ∈ Rⁿ×ⁿ. Our aim is to construct an asymptotic test procedure for the hypothesis

^p

H0 : Y(Ξn) =    βifi(Ξn)+Envs.H1 : Y(Ξn) = g(Ξn) + En,                (1)

i=1

where (β ₁,..., β_p)^τ =: β ∈ R^p is a vector of unknown parameters, E_n := (ε_lk)n=1 _e=₁ is an n × n random matrix whose components are independent, real-valued random variables ε_lk , 1 ≤ l, k ≤

• n, defined on a common probability space (Ω, F, P) having mean 0 and variance σlk, 0 < σ2_k < ∞, 1 ≤ ℓ, k ≤ n, and g : I → R is the unknown true regression function. Thus, under nullhypothesis we consider a heteroscedastic linear model, while under the alternative we assume a non-parametric heteroscedastic regression model. It is worth mentioning that under H₀ and Hι we need not to assume any specific distribution for the random errors εℓk , 1 ≤ ℓ, k ≤ n. Under the assumption fι(Ξ_n),..., f_p(Ξ_n) are linearly independent in Rⁿ×ⁿ, the corresponding matrix of least squares residuals of the observations under H₀ is given by

_χn, n P          ∖^fi^(Ξn)^, En)Rⁿ×^{n f}i^(Ξn)

Rⁿ := ⁽r^lk)k=1 ,ι=1 = Eⁿ >     , .   .    , _μ .

^=1   ∖^fi (Ξn)^{, f}i (Ξn))Rⁿ×ⁿ

Recently, for a fixed n ≥ 1, MacNeill and Jandhyala [7], and Xie and MacNeill [11] define an operator T_n : R ⁿ×ⁿ → C (I), given by

[nz2] [nz 1]

Tn(A)(z 1 , z2) := y y aIk

k=1 I =1

[nz2]                                               [nz1]

+ (nz 1 - [nz 1]) ^ a[nz 1]+1 I + (nz2 — [nz2]) ^ ^ak,[nz2]+1 I=1                             k=1

+ (nz 1 - [nz 1])(nz2 - [nz2])a[nz ₁]+1,[nz₂]+1, (z 1 ,z2) ∈ I,

for every A = (a_lk)n=,= =₁, where [t] := max{n ∈ N : n ≤ t}, t ∈ R and T_n(A)(t,s) = 0, if t = 0 or s = 0. Here C(I) is the space of continuous functions on I furnished with the supremum norm. By the operator T_n, the matrix of the least squares residuals is induced into a stochastic process {T_n(R_n)(t, s) : (t, s) ∈ I} having sample paths in C(I). Let us call this process residual partial sums process. It is common in practice to test (1) by investigating a functional of the residual partial sums process such as a Kolmogorov type statistic, defined by K_n := max₁ <_l,_k<_n T_n(R_n)(l∕n,k∕n). Therefore in order to establish this test problem we need to investigate the limit process of the sequence {T_n(R_n)(t,s) : (t,s) ∈ I}_n> ₁ under H₀ as well as under H₁. In MacNeill and Jandhyala [7] and in Xie and MacNeill [11] the limit process of this sequence was derived explicitly in which homoscedasticity was assumed, i.e. σ2_k = σ², for 1 ≤ l,k ≤ n. It was shown therein that under the condition of the regression functions are continuously differentiable, the limit process is a complicated function of the Brownian sheet. In Somayasa [10] the limit process of such a sequence was also derived by generalizing the approach of Bischoff [4] from one to higher dimensional case. In contrast to the result of MacNeill and Jandhyala [7] and Xie and MacNeill [11], Somayasa [10] got the structure of the limit process as a projection of the Brownian sheet onto its reproducing kernel Hilbert space. In this paper we establish the limit process of the heteroscedastic linear regression model defined above, see Section 2. In Section 3 we discuss examples of the limit process corresponding to polynomial models. In Section 4 we construct the critical region of the Kolmogorov type test.

• 2.    Residual partial sums limit process

In the sequel we characterize the heteroscedasticity of the regression model by defining a function h : I → R>₀, such that σj_k = h(l/n, k/n), 1 ≤ l,k ≤ n, n ∈ N, where h is assumed to be a function of bounded variation in the sense of Vitali, see Clarkson and Adams [5].

Definition 2.1. A stochastic process {Bh(t, s) : (t, s) ∈ I} is called a h-Brownian sheet on C(I), if

1.

2.

3.

Bh(t, s) = 0 almost surely (a.s.), if t = 0 or s = 0.

For every rectangle [1₁ ,t₂] × [s ₁, s₂] ⊂ 1, 0 ≤ 1₁ ≤ 1₂ ≤ 1, 0 ≤ s ₁ ≤ s₂ ≤ 1,

^δ[11 ,t2]× [s 1 ,s2]Bh ^N ^^0, Jt t [ ^{h dλ}^ ^,

where ∆[11 ,t2] × [s 1 ,s2] Bh := Bh (12,s2) - Bh (11, s2) - Bh (12, s 1) + Bh (11, s 1), and λi is the Lebesgue measure on I. Random variable ∆[ ₁₁ ,_t2] × [ _{s 1} ,_s2] B_h is called the increment of B_h over [ 1₁ ,t ₂] × [ s ₁, s ₂]. For any two rectangles I₁ ⊂ I, I₂ ⊂ I with I₁ ∩ I₂ = 0, ∆_i1 B_h and ∆_i2 B_h are mutually independent.

We refer the reader to MacNeill and et al. [?] for the existence of such a process. In case h is a constant function, Bh is the Brownian sheet whose existence has been studied by Yeh [12], Kuelbs [6], and Park [9]. As a consequent of Definition 2.1, the covariance function of Bh is given by

KB_h (11 ,s 1; 12 ,s 2):= Cov (Bh (11 ,s 1) ,Bh (12 ,s 2))= /               h dλ i,

J [0,t 1 Λt2] × [0,s 1 Λs2]

(1₁, s 1), (1₂, s₂) ∈ I, where x ∧ y stands for the minimum between x and y.

Theorem 2.1. Let (E_n)_n≥ ₁, E_n := (ε_lk)n=n₁₁ =₁ be a sequence of n × n random matrix such that ε_lk are mutually independent with E(ε_ℓk) = 0 and V ar (ε_ℓk) = h(ℓ/n, k/n), 1 ≤ ℓ, k ≤ n, n ≥ 1. Then n Tn (En) -→ B_h, as n → ∞, in C (I). Here -→ stands for the convergence in distribution (weakly), see Billingsley [2], p. 23.

Proof. See MacNeill and et al. [?].

Theorem 2.2. Let f₁, . . . , f_p be continuous and have bounded variation in the sense of Hardy (Clarkson and Adams [5]) on I. If f₁,..., f_p are linearly independent in L₂(I,λ ₁), where L₂(I,λ ₁) is the Hilbert space of squared integrable functions on I with respect to λI , then

1m      D

_nTn(Rn) —→ B_h f, as n → ∞, in C (I),

where

Bhf (t, s) := Bh

I        f^τ dλI

[0,t] × [0,s]

, (t, s) ∈ I,

[0 ,t] × [0 S ]

f1 dλ I,...,

J [0,t] × [0,s]

fp dλI

J⁽R’ f dBh :

dBh , .

.

., J (R) f p dBh ) .

Here W := (∫₁ f_i f j dλ ₁) p^,p₁j.=₁ ∈ R^p×^p is invertible. Furthermore Bhff function given by

KB_{h i} ^(t,s; t'^,s') := Co^v (B_h, j⁽t,s) ^,B_h, f⁽t' ,s'))

is a process with the covariance

=

J [0,tΛt'][0,sΛs']

I f^τ dλI [0,t^']×[0,s^']

^˜f h dλI [0,t]×[0,s]

_-

+

f^τ

[0,t]×[0,s]

( f^τ

[0,t]×[0,s]

dλI

^˜fh dλI

[0,t'] × [0,s’]               /

dλ i) W ^-1 (J f i f j hdλ i^

p, p

W -¹ i=1 ,j=1

Here and in the sequel ∫(R) denotes Riemann-Stieltjes integral, see Young [13] and Somayasa [10], p. 115.

Proof. The proof of Theorem 2.2 in Bischoff [3] and the result of Bischoff [4] can be extended to the case of higher experimental regions.

• 3.    Examples

In this section we discuss several examples of the residual partial sums limit processes of constant, first-order and second-order regression models.

• 3.1.    Constant regression model

As a simple case, we consider a constant model, i.e. Y(Ξ_n) = βf₁ (Ξ_n) + E_n, where β is an unknown parameter and f₁ (t, s) = 1, for (t, s) ∈ I. Then the residual partial sums limit process of this model is given by

Bh,f˜₀(t,s) := Bh(t, s) - tsBh(1, 1), (t, s) ∈I,

which is the standard Brownian bridge when h is constant, see e.g. McNeill and Jandhyala [7] and Somayasa [10], p. 20.

• 3.2.    First order regression model

Let us consider a first-order regression model

Y(Ξn) = β1f1(Ξn) + β2f2(Ξn) + β3f3(Ξn) + En

where β1 , β2 and β3 are unknown parameters, f1 (t, s) = 1, f2 (t, s) = t and f3(t, s) = s, for (t, s) ∈ I. Associated to this model we have

1    1/2  1/2                     7   -6

W =   1/2 1/3 1/4   and W^-1 =   -6  12  0

1/2  1/4  1/3                     -6   012

Then the residual partial sums limit process of this model is given by

B_h,˜_f1 (t, s) :=Bh(t, s) - (7ts - 3t²s - 3ts²)Bh(1, 1)

- (-6ts + 6t²s) B_h(1, 1) -      B_h(t, 1)dt

- (-6ts + 6ts²) B_h(1, 1) -      B_h(1, s)ds

(t, s) ∈ I.

• 3.3.    Second order regression model

For the third example we consider a second-order polynomial model

• Y(Ξ_n) = β₁f₁ (Ξ_n) + β₂f₂ (Ξ_n) + β₃f₃ (Ξ_n) + β₄f₄(Ξ_n) + β₅f₅ (Ξ_n) + β₆f₆ (Ξ_n) + E_n

  Wayan Somayasa/ Model check for heteroscedastic spatial linear model                    15

where β1 , β2, β3, β4, β5 and β6 are unknown parameters, f1 (t, s) = 1, f2 (t, s) = t, f3(t, s) = s, f4(t, s) = t², f5 (t, s) = ts, f6 (t, s) = s², for (t, s) ∈ I. Accordingly the matrix W and W^-1 are given

by

∕ 1     1 / 2  1 / 2  1 / 3  1 / 4  1 / 3 ∖ 1/2  1/3  1/4  1/4  1/6  1/6 W      1/2  1/4  1/3  1/6  1/6  1/4 =    1 / 3  1 / 4  1 / 6  1 / 5  1 / 8  1 / 9    , 1 / 4  1 / 6  1 / 6  1 / 8  1 / 9  1 / 8 1/3  1/6  1/4  1/9  1/8  1/5 ∕ 26   -54   -54   30    36    30  ∖ -54  228   36   -180 -72   0 -54   36   228    0   -72 -180 W1=                                    . 30   -180    0     180    0     0 36   - 72   - 72    0    144    0 30    0   -180   0     0    180

Let y1 , y2, y3, y4, y5, y6 : I → R be functions of I defined by y1 (t, s) := 26ts - 27t²s - 27ts² + 10t³s + 9t²s² + 10ts³, y2(t, s) := -54ts + 114t²s + 18ts² - 60t³s - 18t²s² - 60ts³, y3(t, s) := -54ts + 18t²s + 114ts² - 18t²s² - 60ts³, y₄(t, s) := 30ts - 90t²s + 60t³s, y₅(t, s) := 36ts - 36t²s - 36ts² + 36t²s² and y₆(t, s) := 30ts - 90ts² + 60ts³. The residual partial sums limit process of this model can be expressed

by

Bh,f˜2(t,s) := Bh(t, s) - y1(t,s)Bh(1, 1) -    y2(t,s) Bh(1, 1) - [0 1] Bh(t, s)dt -    y3(t, s) Bh(1, 1) - 0 1 Bh(1, s)ds - y4(t,s) Bh(1, 1) - [0,1] 2Bh(t, 1)tdt -    y5(t,s) Bh(1, 1) -     Bh(t, 1)dt -     Bh(1, s)ds +     Bh(t,s)dtds [0,1]                                  [0,1]                                   [0,1] -    y6(t,s) Bh(1, 1) - [01] 2Bh(1, s)sds , (t, s) ∈ I.

• 4.    Kolmogorov type test

Kolmogorov type test for Hypotheses (1) is a test based on the statistic K_n,_f := max₀≤_l,_k≤_n n ∑^l_i=0 ∑^₌₀ r_ij.

We put r_ij = 0 if i = 0 or j = 0. We note that by the property of the partial sums, it holds

Kn,f = sup_{0≤t,s≤1 n}¹ Tn(Rn)(t, s)

Theorem 4.1. For a fixed α ∈ (0, 1), let c˜_α be the α-quantile of sup_0≤t,s≤1 B_h,˜_f (t, s), i.e. a constant such that P sup_0≤t,s≤1 B_h,˜_f (t, s) ≤ c˜α = α. Then an asymptotically size α test based on Kn,f is given by

reject H0 if and only if Kn,f ≥ c˜1-α .